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Técnicas de Conteo

Principio Multiplicativo, Factorial y Números Combinatorios

Matemáticas - Nivel Superior

Principio Multiplicativo

Concepto Fundamental

Definición

Si un evento puede ocurrir de \(m\) maneras diferentes y, después de que esto suceda, un segundo evento puede ocurrir de \(n\) maneras diferentes, entonces ambos eventos pueden ocurrir en secuencia de \(m \times n\) maneras diferentes.

Si tenemos \(k\) eventos con \(n_1, n_2, n_3, \ldots, n_k\) opciones respectivamente:

\[\text{Total de formas} = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots \times n_k\]

Aplicación: Se utiliza para contar el número total de resultados posibles cuando tenemos una secuencia de decisiones o eventos independientes.

Principio Multiplicativo

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Vestimenta

María tiene 5 blusas diferentes, 4 pantalones diferentes y 3 pares de zapatos diferentes. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse María eligiendo una blusa, un pantalón y un par de zapatos?

Solución

Aplicamos el Principio Multiplicativo:

Número de opciones para blusas: \(5\)
Número de opciones para pantalones: \(4\)
Número de opciones para zapatos: \(3\)

\[\text{Total de combinaciones} = 5 \times 4 \times 3 = 60\]

Respuesta: María puede vestirse de 60 formas diferentes.

Ejemplo 2: Placas de Automóvil

Una placa de automóvil consta de 2 letras seguidas de 4 dígitos. ¿Cuántas placas diferentes se pueden formar si se pueden usar las 26 letras del alfabeto y los dígitos del 0 al 9, permitiendo repeticiones?

Solución

Analizamos cada posición:

Primera letra: \(26\) opciones
Segunda letra: \(26\) opciones (se permite repetición)
Primer dígito: \(10\) opciones (0-9)
Segundo dígito: \(10\) opciones
Tercer dígito: \(10\) opciones
Cuarto dígito: \(10\) opciones

\[\text{Total de placas} = 26 \times 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\] \[= 26^2 \times 10^4 = 676 \times 10000 = 6,760,000\]

Respuesta: Se pueden formar 6,760,000 placas diferentes.

Principio Multiplicativo

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Menú de Restaurante

Un restaurante ofrece un menú del día que incluye: 3 opciones de entrada, 6 opciones de plato principal, 4 opciones de postre y 5 opciones de bebida. ¿De cuántas formas diferentes puede un cliente elegir su menú completo (entrada, plato principal, postre y bebida)?

Solución

Aplicamos el Principio Multiplicativo a cada categoría:

Opciones de entrada: \(3\)
Opciones de plato principal: \(6\)
Opciones de postre: \(4\)
Opciones de bebida: \(5\)

\[\text{Total de menús} = 3 \times 6 \times 4 \times 5\] \[= 18 \times 20 = 360\]

Respuesta: El cliente puede elegir su menú de 360 formas diferentes.

Ejemplo 4: Contraseñas

Una contraseña de seguridad consta de 3 letras mayúsculas seguidas de 3 dígitos. ¿Cuántas contraseñas diferentes se pueden formar si NO se permiten repeticiones de letras ni de dígitos?

Solución

Sin repeticiones, cada elección reduce las opciones siguientes:

Primera letra: \(26\) opciones
Segunda letra: \(25\) opciones (no puede repetir la primera)
Tercera letra: \(24\) opciones
Primer dígito: \(10\) opciones (0-9)
Segundo dígito: \(9\) opciones
Tercer dígito: \(8\) opciones

\[\text{Total de contraseñas} = 26 \times 25 \times 24 \times 10 \times 9 \times 8\] \[= 15,600 \times 720 = 11,232,000\]

Respuesta: Se pueden formar 11,232,000 contraseñas diferentes.

Factorial

Concepto y Notación

Definición

El factorial de un número natural \(n\), denotado como \(n!\), es el producto de todos los números naturales desde 1 hasta \(n\).

\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1\]

Por convención: \(0! = 1\) y \(1! = 1\)

Interpretación: \(n!\) representa el número de formas diferentes en que se pueden ordenar \(n\) objetos distintos.

Ejemplos básicos:

\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

Factorial

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Cálculo de 6!

Calcula el valor de \(6!\)

Solución

Aplicamos la definición de factorial:

\[6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Cálculo paso a paso:

\(6 \times 5 = 30\)
\(30 \times 4 = 120\)
\(120 \times 3 = 360\)
\(360 \times 2 = 720\)
\(720 \times 1 = 720\)

\[6! = 720\]

Respuesta: \(6! = 720\)

Ejemplo 2: Cálculo de 9!

Calcula el valor de \(9!\)

Solución

Aplicamos la definición de factorial:

\[9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Cálculo paso a paso:

\(9 \times 8 = 72\)
\(72 \times 7 = 504\)
\(504 \times 6 = 3,024\)
\(3,024 \times 5 = 15,120\)
\(15,120 \times 4 = 60,480\)
\(60,480 \times 3 = 181,440\)
\(181,440 \times 2 = 362,880\)
\(362,880 \times 1 = 362,880\)

\[9! = 362,880\]

Respuesta: \(9! = 362,880\)

Factorial

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Cálculo Directo

Calcula el valor de \(\displaystyle\frac{10!}{7!}\)

Solución

Método 1: Simplificación antes de calcular

\[\frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!}\] \[= 10 \times 9 \times 8\] \[= 720\]

Método 2: Calcular y dividir (menos eficiente)

\(10! = 3,628,800\)
\(7! = 5,040\)
\(\displaystyle\frac{3,628,800}{5,040} = 720\)

Respuesta: \(\displaystyle\frac{10!}{7!} = 720\)

Nota: Siempre es más eficiente simplificar antes de calcular.

Ejemplo 4: Ecuación con Factoriales

Resuelve la ecuación: \(\displaystyle\frac{(n+1)!}{n!} = 12\)

Solución

Simplificamos el lado izquierdo:

\[\frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1) \times n!}{n!} = n+1\]

Ahora la ecuación queda:

\[n + 1 = 12\] \[n = 11\]

Verificación:

\(\displaystyle\frac{12!}{11!} = 12\) ✓

Respuesta: \(n = 11\)

Número Combinatorio

Concepto y Fórmula

Definición

El número combinatorio \(\displaystyle\binom{n}{k}\) (leído "n sobre k" o "combinaciones de n en k") representa el número de formas de elegir \(k\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos, sin importar el orden.

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

donde \(0 \leq k \leq n\)

Propiedades importantes:

\(\displaystyle\binom{n}{0} = 1\) (solo hay una forma de elegir 0 elementos)
\(\displaystyle\binom{n}{n} = 1\) (solo hay una forma de elegir todos los elementos)
\(\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) (simetría)
\(\displaystyle\binom{n}{1} = n\) (hay n formas de elegir 1 elemento)

Número Combinatorio

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Cálculo de C(10,3)

Calcula el valor de \(\displaystyle\binom{10}{3}\)

Solución

Aplicamos la fórmula del número combinatorio:

\[\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}\]

Simplificamos:

\[= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!}\]

Calculamos paso a paso:

\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
\(10 \times 9 = 90\)
\(90 \times 8 = 720\)
\(\displaystyle\frac{720}{6} = 120\)

\[\binom{10}{3} = 120\]

Respuesta: \(\displaystyle\binom{10}{3} = 120\)

Ejemplo 2: Cálculo de C(15,5)

Calcula el valor de \(\displaystyle\binom{15}{5}\)

Solución

Aplicamos la fórmula del número combinatorio:

\[\binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!}\]

Simplificamos:

\[= \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5!}\] \[= \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{120}\]

Calculamos el numerador paso a paso:

\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
\(15 \times 14 = 210\)
\(210 \times 13 = 2,730\)
\(2,730 \times 12 = 32,760\)
\(32,760 \times 11 = 360,360\)

\[\frac{360,360}{120} = 3,003\]

Respuesta: \(\displaystyle\binom{15}{5} = 3,003\)

Número Combinatorio

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Cálculo de C(20,2)

Calcula el valor de \(\displaystyle\binom{20}{2}\)

Solución

Aplicamos la fórmula del número combinatorio:

\[\binom{20}{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!}\]

Simplificamos:

\[= \frac{20 \times 19 \times 18!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \times 19}{2!}\]

Calculamos paso a paso:

\(2! = 2 \times 1 = 2\)
\(20 \times 19 = 380\)
\(\displaystyle\frac{380}{2} = 190\)

\[\binom{20}{2} = 190\]

Respuesta: \(\displaystyle\binom{20}{2} = 190\)

Ejemplo 4: Verificación de Simetría

Calcula \(\displaystyle\binom{8}{3}\) y \(\displaystyle\binom{8}{5}\), y verifica que son iguales.

Solución

Calculamos \(\displaystyle\binom{8}{3}\):

\[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6}\]

\(8 \times 7 = 56\)
\(56 \times 6 = 336\)
\(3! = 6\)
\(\displaystyle\frac{336}{6} = 56\)

Calculamos \(\displaystyle\binom{8}{5}\):

\[\binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56\]

Verificación:

\(\displaystyle\binom{8}{3} = 56\)
\(\displaystyle\binom{8}{5} = 56\)
Por lo tanto: \(\displaystyle\binom{8}{3} = \binom{8}{5}\) ✓

Propiedad de simetría: \(\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)

Respuesta: Ambos números combinatorios son iguales a 56.

Resumen - Parte 1

Conceptos Básicos

Conceptos Revisados

1. Principio Multiplicativo:

Se usa cuando tenemos eventos secuenciales e independientes
Multiplicamos el número de opciones de cada evento
Fórmula: \(n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots \times n_k\)

2. Factorial (\(n!\)):

Representa el número de permutaciones de \(n\) objetos
El orden SÍ importa
Fórmula: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)

3. Número Combinatorio (\(\displaystyle\binom{n}{k}\)):

Representa el número de formas de elegir \(k\) elementos de \(n\)
El orden NO importa
Fórmula: \(\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Continuamos con más técnicas...

Permutaciones Simples

Concepto y Fórmula

Definición

Una permutación simple es un arreglo ordenado de \(n\) elementos distintos, donde se utilizan todos los elementos y el orden importa.

Fórmula de Permutaciones Simples:

\[P(n) = n!\]

donde \(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\)

Características:

El orden SÍ importa: ABC ≠ BAC ≠ CAB
Se usan TODOS los elementos disponibles
NO se permiten repeticiones
Cada elemento aparece exactamente una vez

Ejemplos de aplicación:

Ordenar libros en un estante
Formar filas de personas
Organizar tareas en secuencia

Permutaciones Simples

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Ordenar Libros

¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante?

Solución

Se trata de ordenar 5 elementos usando todos:

\[P(5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Calculamos paso a paso:

\(5 \times 4 = 20\)
\(20 \times 3 = 60\)
\(60 \times 2 = 120\)
\(120 \times 1 = 120\)

\[P(5) = 120\]

Respuesta: Los 5 libros se pueden ordenar de 120 formas diferentes.

Ejemplo 2: Fila de Estudiantes

7 estudiantes deben formar una fila para una fotografía. ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse?

Solución

Debemos ordenar 7 estudiantes en 7 posiciones:

\[P(7) = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Calculamos paso a paso:

\(7 \times 6 = 42\)
\(42 \times 5 = 210\)
\(210 \times 4 = 840\)
\(840 \times 3 = 2,520\)
\(2,520 \times 2 = 5,040\)
\(5,040 \times 1 = 5,040\)

\[P(7) = 5,040\]

Respuesta: Los estudiantes pueden acomodarse de 5,040 formas diferentes.

Permutaciones Simples

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Orden de Presentación

En un concurso de talentos hay 4 participantes. ¿De cuántas formas diferentes se puede establecer el orden de presentación?

Solución

Debemos ordenar 4 participantes en 4 posiciones:

\[P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Calculamos paso a paso:

\(4 \times 3 = 12\)
\(12 \times 2 = 24\)
\(24 \times 1 = 24\)

\[P(4) = 24\]

Respuesta: Se puede establecer el orden de presentación de 24 formas diferentes.

Ejemplo 4: Horario de Clases

Un profesor debe organizar 8 temas diferentes para enseñar durante un semestre. ¿De cuántas formas puede ordenar la secuencia de enseñanza de estos temas?

Solución

Se deben ordenar 8 temas en 8 posiciones:

\[P(8) = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Calculamos paso a paso:

\(8 \times 7 = 56\)
\(56 \times 6 = 336\)
\(336 \times 5 = 1,680\)
\(1,680 \times 4 = 6,720\)
\(6,720 \times 3 = 20,160\)
\(20,160 \times 2 = 40,320\)
\(40,320 \times 1 = 40,320\)

\[P(8) = 40,320\]

Respuesta: El profesor puede ordenar los temas de 40,320 formas diferentes.

Permutaciones con Repetición

Concepto y Fórmula

Definición

Una permutación con repetición es un arreglo ordenado de \(n\) elementos donde algunos elementos se repiten. Si tenemos \(n\) elementos con \(n_1\) repeticiones del primer tipo, \(n_2\) del segundo tipo, etc., entonces:

Fórmula general:

\[PR^{n}_{(n_1, n_2, \ldots, n_k)} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}\]

donde \(n = n_1 + n_2 + \cdots + n_k\)

Características:

El orden SÍ importa
Algunos elementos se repiten
Se divide entre los factoriales de las repeticiones

Permutaciones con Repetición

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Palabra con Letras Repetidas

¿Cuántos arreglos diferentes se pueden formar con las letras de la palabra "BANANA"? (tiene 3 letras A, 2 letras N y 1 letra B)

Solución

Identificamos: Total de letras = 6, con 3 A, 2 N y 1 B

\[PR^{6}_{(3, 2, 1)} = \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!}\]

Calculamos:

\(6! = 720\)
\(3! = 6\)
\(2! = 2\)
\(1! = 1\)
Denominador: \(6 \times 2 \times 1 = 12\)

\[= \frac{720}{12} = 60\]

Respuesta: Se pueden formar 60 arreglos diferentes con las letras de BANANA.

Ejemplo 2: Banderas de Colores

Una señal se forma colocando 10 banderas en fila: 4 rojas, 3 azules y 3 verdes. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar?

Solución

Total de banderas = 10, con 4 rojas, 3 azules y 3 verdes

\[PR^{10}_{(4, 3, 3)} = \frac{10!}{4! \cdot 3! \cdot 3!}\]

Calculamos:

\(10! = 3,628,800\)
\(4! = 24\)
\(3! = 6\)
\(3! = 6\)
Denominador: \(24 \times 6 \times 6 = 864\)

\[= \frac{3,628,800}{864} = 4,200\]

Respuesta: Se pueden formar 4,200 señales diferentes.

Permutaciones con Repetición

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Código Binario

Un código de 6 dígitos se forma usando 3 ceros (0) y 3 unos (1). ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear?

Solución

Total de dígitos = 6, con 3 ceros y 3 unos

\[PR^{6}_{(3, 3)} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}\]

Calculamos:

\(6! = 720\)
\(3! = 6\)
\(3! = 6\)
Denominador: \(6 \times 6 = 36\)

\[= \frac{720}{36} = 20\]

Respuesta: Se pueden crear 20 códigos diferentes.

Ejemplo 4: Collar de Perlas

Se desea hacer un collar en línea con 8 perlas: 5 blancas y 3 negras. ¿De cuántas formas diferentes se puede diseñar el collar?

Solución

Total de perlas = 8, con 5 blancas y 3 negras

\[PR^{8}_{(5, 3)} = \frac{8!}{5! \cdot 3!}\]

Calculamos:

\(8! = 40,320\)
\(5! = 120\)
\(3! = 6\)
Denominador: \(120 \times 6 = 720\)

\[= \frac{40,320}{720} = 56\]

Respuesta: El collar se puede diseñar de 56 formas diferentes.

Variaciones sin Repetición

Concepto y Fórmula

Definición

Las variaciones sin repetición son arreglos ordenados de \(r\) elementos tomados de un conjunto de \(n\) elementos distintos, donde no se repiten elementos y el orden importa.

Fórmula:

\[V(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]

También se denota como \(V_n^r\) o \(_nP_r\)

Nota importante:

Las variaciones sin repetición son equivalentes a las permutaciones sin repetición. Ambos términos se refieren al mismo concepto matemático.

Características:

El orden SÍ importa
NO se permiten repeticiones
\(r \leq n\) siempre

Variaciones sin Repetición

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Podio de Competencia

En una competencia de atletismo participan 9 corredores. ¿De cuántas formas diferentes se pueden otorgar las medallas de oro, plata y bronce?

Solución

Se eligen 3 posiciones (podio) de 9 corredores, el orden importa:

\[V(9,3) = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!}\]

Simplificamos:

\[= 9 \times 8 \times 7\]

Calculamos:

\(9 \times 8 = 72\)
\(72 \times 7 = 504\)

\[V(9,3) = 504\]

Respuesta: Las medallas se pueden otorgar de 504 formas diferentes.

Ejemplo 2: Directiva Escolar

De un grupo de 11 estudiantes se deben elegir presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y vocal. ¿De cuántas formas se puede conformar esta directiva?

Solución

Se eligen 5 cargos de 11 estudiantes, sin repetir:

\[V(11,5) = \frac{11!}{(11-5)!} = \frac{11!}{6!}\]

Simplificamos:

\[= 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7\]

Calculamos paso a paso:

\(11 \times 10 = 110\)
\(110 \times 9 = 990\)
\(990 \times 8 = 7,920\)
\(7,920 \times 7 = 55,440\)

\[V(11,5) = 55,440\]

Respuesta: La directiva se puede conformar de 55,440 formas diferentes.

Variaciones sin Repetición

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Carrera de Relevos

Un equipo de atletismo tiene 6 corredores y debe seleccionar 4 de ellos para una carrera de relevos (1°, 2°, 3° y 4° corredor). ¿De cuántas formas puede formar el equipo?

Solución

Se eligen 4 posiciones de 6 corredores, el orden importa:

\[V(6,4) = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!}\]

Simplificamos:

\[= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3\]

Calculamos:

\(6 \times 5 = 30\)
\(30 \times 4 = 120\)
\(120 \times 3 = 360\)

\[V(6,4) = 360\]

Respuesta: El equipo se puede formar de 360 formas diferentes.

Ejemplo 4: Códigos de Acceso

Una empresa debe asignar códigos de 2 dígitos diferentes a sus empleados, usando los dígitos del 1 al 8. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear?

Solución

Se eligen 2 dígitos de 8 disponibles, sin repetir:

\[V(8,2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!}\]

Simplificamos:

\[= 8 \times 7\]

Calculamos:

\(8 \times 7 = 56\)

\[V(8,2) = 56\]

Respuesta: Se pueden crear 56 códigos diferentes.

Variaciones con Repetición

Concepto y Fórmula

Definición

Las variaciones con repetición son arreglos ordenados de \(r\) elementos tomados de un conjunto de \(n\) elementos distintos, donde SÍ se permiten repeticiones y el orden importa.

Fórmula:

\[VR(n,r) = n^r\]

También se denota como \(VR_n^r\)

Características:

El orden SÍ importa
SÍ se permiten repeticiones
Cada posición tiene \(n\) opciones disponibles
\(r\) puede ser mayor que \(n\)

Variaciones con Repetición

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Código de Colores

Una alarma tiene 5 colores diferentes (rojo, azul, verde, amarillo, blanco) y debe configurarse un código de 3 colores donde los colores pueden repetirse. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear?

Solución

Tenemos 5 colores y elegimos 3 posiciones con repetición:

\[VR(5,3) = 5^3\]

Calculamos:

Cada una de las 3 posiciones tiene 5 opciones
\(5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125\)

\[VR(5,3) = 125\]

Respuesta: Se pueden crear 125 códigos diferentes.

Ejemplo 2: Combinación de Candado

Un candado tiene 4 ruedas con los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden formar si los dígitos pueden repetirse?

Solución

Tenemos 4 dígitos diferentes y 6 posiciones con repetición permitida:

\[VR(4,6) = 4^6\]

Calculamos paso a paso:

\(4^2 = 16\)
\(4^3 = 64\)
\(4^4 = 256\)
\(4^5 = 1,024\)
\(4^6 = 4,096\)

\[VR(4,6) = 4,096\]

Respuesta: Se pueden formar 4,096 combinaciones diferentes.

Variaciones con Repetición

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Lanzamiento de Dados

Si se lanza un dado de 10 caras (numerado del 0 al 9) dos veces, ¿cuántos resultados diferentes se pueden obtener si consideramos el orden?

Solución

Tenemos 10 posibles resultados por lanzamiento, 2 lanzamientos:

\[VR(10,2) = 10^2\]

Calculamos:

Cada lanzamiento tiene 10 opciones
Los resultados pueden repetirse
\(10^2 = 10 \times 10 = 100\)

\[VR(10,2) = 100\]

Respuesta: Se pueden obtener 100 resultados diferentes.

Ejemplo 4: Menú de Helados

Una heladería ofrece 3 sabores de helado (chocolate, vainilla, fresa). Un cliente puede ordenar un cono de 5 bolas, pudiendo repetir sabores. ¿Cuántas combinaciones ordenadas puede elegir?

Solución

Tenemos 3 sabores y 5 posiciones, con repetición permitida:

\[VR(3,5) = 3^5\]

Calculamos paso a paso:

Cada bola puede ser de cualquiera de los 3 sabores
\(3^1 = 3\)
\(3^2 = 9\)
\(3^3 = 27\)
\(3^4 = 81\)
\(3^5 = 243\)

\[VR(3,5) = 243\]

Respuesta: El cliente puede elegir 243 combinaciones ordenadas diferentes.

Combinaciones

Concepto y Fórmula

Definición

Las combinaciones son selecciones de \(r\) elementos tomados de un conjunto de \(n\) elementos distintos, donde el orden NO importa y no se permiten repeticiones.

Fórmula:

\[C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]

También se denota como \(C_n^r\) o \(_nC_r\)

Diferencia clave con variaciones:

En combinaciones, ABC = BAC = CAB (el orden no importa)

Características:

El orden NO importa
NO se permiten repeticiones
\(C(n,r) = C(n, n-r)\) (propiedad de simetría)
Siempre: \(C(n,r) < V(n,r)\) cuando \(r > 1\)

Combinaciones

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Selección de Pizzas

Una pizzería ofrece 12 ingredientes diferentes. Si deseas elegir exactamente 4 ingredientes para tu pizza (sin importar el orden), ¿cuántas pizzas diferentes puedes crear?

Solución

Se eligen 4 ingredientes de 12, el orden NO importa:

\[C(12,4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}\]

Simplificamos:

\[= \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24}\]

Calculamos:

\(12 \times 11 = 132\)
\(132 \times 10 = 1,320\)
\(1,320 \times 9 = 11,880\)
\(4! = 24\)
\(\displaystyle\frac{11,880}{24} = 495\)

\[C(12,4) = 495\]

Respuesta: Puedes crear 495 pizzas diferentes.

Ejemplo 2: Comité Escolar

De un grupo de 9 estudiantes se debe formar un comité de 6 personas. ¿De cuántas formas se puede seleccionar este comité?

Solución

Podemos usar la propiedad de simetría \(C(n,r) = C(n,n-r)\):

\[C(9,6) = C(9, 9-6) = C(9,3)\]

Ahora calculamos \(C(9,3)\):

\[C(9,3) = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6}\]

Calculamos:

\(9 \times 8 = 72\)
\(72 \times 7 = 504\)
\(3! = 6\)
\(\displaystyle\frac{504}{6} = 84\)

\[C(9,6) = 84\]

Respuesta: El comité se puede seleccionar de 84 formas diferentes.

Combinaciones

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Equipo de Fútbol

Un entrenador debe seleccionar 2 jugadores de un grupo de 7 para que tomen un examen médico. ¿De cuántas formas puede hacer esta selección?

Solución

Se eligen 2 jugadores de 7, el orden NO importa:

\[C(7,2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!}\]

Simplificamos:

\[= \frac{7 \times 6}{2!} = \frac{7 \times 6}{2}\]

Calculamos:

\(7 \times 6 = 42\)
\(2! = 2\)
\(\displaystyle\frac{42}{2} = 21\)

\[C(7,2) = 21\]

Respuesta: El entrenador puede hacer la selección de 21 formas diferentes.

Ejemplo 4: Lotería

En una lotería, se extraen 5 bolas de una urna con 13 bolas numeradas del 1 al 13. ¿Cuántas combinaciones diferentes de 5 números se pueden obtener?

Solución

Se eligen 5 bolas de 13, sin importar el orden:

\[C(13,5) = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5!}\]

Calculamos:

\(5! = 120\)
\(13 \times 12 = 156\)
\(156 \times 11 = 1,716\)
\(1,716 \times 10 = 17,160\)
\(17,160 \times 9 = 154,440\)
\(\displaystyle\frac{154,440}{120} = 1,287\)

\[C(13,5) = 1,287\]

Respuesta: Se pueden obtener 1,287 combinaciones diferentes.

Resumen Final

Todas las Técnicas de Conteo

Técnicas de Conteo Completas

1. Principio Multiplicativo: \(n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k\)

2. Factorial: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1\)

3. Número Combinatorio: \(\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

4. Permutaciones Simples: \(P(n) = n!\)

5. Permutaciones con Repetición: \(\displaystyle PR^{n}_{(n_1, n_2, \ldots, n_k)} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots}\)

6. Variaciones sin Repetición: \(\displaystyle V(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

7. Variaciones con Repetición: \(VR(n,r) = n^r\)

8. Combinaciones: \(\displaystyle C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

¡Fin de la Presentación!

¿Preguntas?