📊 Ejercicios de Permutaciones 📊

Práctica Mixta: Identifica y Resuelve

En esta presentación encontrarás:

6️⃣

Permutaciones Simples

6️⃣

Permutaciones con Repetición

⚡ Los ejercicios están mezclados: ¡Identifica qué técnica usar! ⚡

🎓 Contextos cercanos a tu vida: deportes, redes sociales, música y más

📝 Recordatorio: Fórmulas de Permutaciones

🔄 Permutaciones Simples (P)

Situación: Se ordenan TODOS los elementos disponibles, sin repetir ninguno, y el orden importa.

$$P(n) = n!$$

Características:

Se usan todos los elementos
El orden SÍ importa
NO se permiten repeticiones
Cada elemento aparece exactamente una vez

Ejemplo: Ordenar 5 libros en un estante: $P(5) = 5! = 120$ formas.

🎯 Permutaciones con Repetición (PR)

Situación: Se ordenan todos los elementos pero algunos están repetidos.

PR^{n}_{(n_1, n_2, \ldots, n_k)} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}

Características:

Hay elementos repetidos
El orden SÍ importa
Se divide entre los factoriales de las repeticiones
$n = n_1 + n_2 + \cdots + n_k$ (total de elementos)

Ejemplo: Ordenar las letras de "BANANA" (3 A, 2 N, 1 B): $\frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60$ formas.

💡 Pregunta clave para identificar:

¿Hay elementos repetidos en el conjunto que debo ordenar?

NO hay repetidos → Permutaciones Simples: $P(n) = n!$
SÍ hay repetidos → Permutaciones con Repetición: $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots}$

📝 Ejercicio 1

En un torneo de ajedrez participan 8 jugadores. Al finalizar el torneo, deben acomodarse en una fila para la foto oficial. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse los 8 jugadores en la fila?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? NO (cada jugador es único)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (los 8 jugadores)
¿El orden importa? SÍ (posición 1 ≠ posición 2, etc.)
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN SIMPLE

Paso 2: Identificar valores

$n = 8$ (jugadores a ordenar)

Paso 3: Aplicar la fórmula

P(8) = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Paso 4: Calcular

$8 \times 7 = 56$
$56 \times 6 = 336$
$336 \times 5 = 1,680$
$1,680 \times 4 = 6,720$
$6,720 \times 3 = 20,160$
$20,160 \times 2 = 40,320$
$40,320 \times 1 = 40,320$

$$P(8) = 40,320$$

Respuesta: Los jugadores pueden ordenarse de 40,320 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 2

Una palabra clave contiene las letras: M, A, T, E, M, A, T, I, C, A. ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden formar con estas 10 letras?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? SÍ (A aparece 3 veces, M aparece 2 veces, T aparece 2 veces)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (todas las 10 letras)
¿El orden importa? SÍ
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Contar las repeticiones

Letra A: aparece 3 veces
Letra M: aparece 2 veces
Letra T: aparece 2 veces
Letras E, I, C: aparecen 1 vez cada una
Total de letras: $n = 10$

Paso 3: Aplicar la fórmula

PR^{10}_{(3, 2, 2, 1, 1, 1)} = \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}

Paso 4: Calcular

$10! = 3,628,800$
$3! = 6$
$2! = 2$
$2! = 2$
Denominador: $6 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 24$

\frac{3,628,800}{24} = 151,200

Respuesta: Se pueden formar 151,200 ordenamientos diferentes con las letras de MATEMATICA.

📝 Ejercicio 3

Un DJ debe organizar una sesión con 6 canciones diferentes de reggaetón. ¿De cuántas maneras diferentes puede ordenar la secuencia completa de las 6 canciones?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? NO (cada canción es diferente)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (las 6 canciones)
¿El orden importa? SÍ (la secuencia de reproducción)
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN SIMPLE

Paso 2: Aplicar la fórmula

P(6) = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Paso 3: Calcular

$6 \times 5 = 30$
$30 \times 4 = 120$
$120 \times 3 = 360$
$360 \times 2 = 720$
$720 \times 1 = 720$

$$P(6) = 720$$

Respuesta: El DJ puede ordenar las canciones de 720 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 4

Un código de colores se forma con 9 tarjetas: 4 rojas, 3 azules y 2 verdes. ¿Cuántas secuencias diferentes se pueden formar colocando todas las tarjetas en fila?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? SÍ (4 rojas, 3 azules, 2 verdes)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (las 9 tarjetas)
¿El orden importa? SÍ
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

Total de tarjetas: $n = 9$
Rojas: 4 repeticiones
Azules: 3 repeticiones
Verdes: 2 repeticiones

Paso 3: Aplicar la fórmula

PR^{9}_{(4, 3, 2)} = \frac{9!}{4! \cdot 3! \cdot 2!}

Paso 4: Calcular

$9! = 362,880$
$4! = 24$
$3! = 6$
$2! = 2$
Denominador: $24 \times 6 \times 2 = 288$

\frac{362,880}{288} = 1,260

Respuesta: Se pueden formar 1,260 secuencias diferentes.

📝 Ejercicio 5

En una competencia de baile, los jueces tienen 7 paletas para calificar: 3 con "⭐", 2 con "❤️" y 2 con "🔥". ¿De cuántas formas diferentes pueden mostrar las 7 paletas en orden?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? SÍ (3 ⭐, 2 ❤️, 2 🔥)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (las 7 paletas)
¿El orden importa? SÍ
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

Total de paletas: $n = 7$
⭐: 3 repeticiones
❤️: 2 repeticiones
🔥: 2 repeticiones

Paso 3: Aplicar la fórmula

PR^{7}_{(3, 2, 2)} = \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!}

Paso 4: Calcular

$7! = 5,040$
$3! = 6$
$2! = 2$
$2! = 2$
Denominador: $6 \times 2 \times 2 = 24$

\frac{5,040}{24} = 210

Respuesta: Pueden mostrar las paletas de 210 formas diferentes.

📝 Ejercicio 6

Para una presentación escolar, 5 estudiantes deben realizar 5 exposiciones diferentes (una cada uno). ¿De cuántas maneras pueden ordenarse para establecer el turno de cada exposición?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? NO (cada estudiante es diferente)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (los 5 estudiantes)
¿El orden importa? SÍ (el turno de exposición)
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN SIMPLE

Paso 2: Aplicar la fórmula

P(5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Paso 3: Calcular

$5 \times 4 = 20$
$20 \times 3 = 60$
$60 \times 2 = 120$
$120 \times 1 = 120$

$$P(5) = 120$$

Respuesta: Pueden ordenarse de 120 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 7

En tu estantería tienes 7 videojuegos diferentes que quieres ordenar. ¿De cuántas formas diferentes puedes acomodar estos 7 videojuegos en la estantería?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? NO (cada videojuego es diferente)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (los 7 videojuegos)
¿El orden importa? SÍ (posición en la estantería)
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN SIMPLE

Paso 2: Aplicar la fórmula

P(7) = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Paso 3: Calcular

$7 \times 6 = 42$
$42 \times 5 = 210$
$210 \times 4 = 840$
$840 \times 3 = 2,520$
$2,520 \times 2 = 5,040$
$5,040 \times 1 = 5,040$

$$P(7) = 5,040$$

Respuesta: Puedes acomodar los videojuegos de 5,040 formas diferentes.

📝 Ejercicio 8

Una bandera se diseña con 8 franjas horizontales: 3 franjas blancas, 3 franjas azules y 2 franjas rojas. ¿Cuántos diseños diferentes de bandera se pueden crear variando el orden de las franjas?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? SÍ (3 blancas, 3 azules, 2 rojas)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (las 8 franjas)
¿El orden importa? SÍ
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

Total de franjas: $n = 8$
Blancas: 3 repeticiones
Azules: 3 repeticiones
Rojas: 2 repeticiones

Paso 3: Aplicar la fórmula

PR^{8}_{(3, 3, 2)} = \frac{8!}{3! \cdot 3! \cdot 2!}

Paso 4: Calcular

$8! = 40,320$
$3! = 6$
$3! = 6$
$2! = 2$
Denominador: $6 \times 6 \times 2 = 72$

\frac{40,320}{72} = 560

Respuesta: Se pueden crear 560 diseños diferentes de bandera.

📝 Ejercicio 9

Un profesor organiza un concurso donde debe colocar 11 premios en fila: 5 medallas de oro, 4 medallas de plata y 2 medallas de bronce. ¿De cuántas formas diferentes puede ordenar todas las medallas?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? SÍ (5 oro, 4 plata, 2 bronce)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (las 11 medallas)
¿El orden importa? SÍ
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

Total de medallas: $n = 11$
Oro: 5 repeticiones
Plata: 4 repeticiones
Bronce: 2 repeticiones

Paso 3: Aplicar la fórmula

PR^{11}_{(5, 4, 2)} = \frac{11!}{5! \cdot 4! \cdot 2!}

Paso 4: Calcular

$11! = 39,916,800$
$5! = 120$
$4! = 24$
$2! = 2$
Denominador: $120 \times 24 \times 2 = 5,760$

\frac{39,916,800}{5,760} = 6,930

Respuesta: Puede ordenar las medallas de 6,930 formas diferentes.

📝 Ejercicio 10

Un equipo de básquetbol tiene 9 jugadores titulares que deben formar una fila para el himno nacional antes del partido. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse los 9 jugadores en la fila?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? NO (cada jugador es único)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (los 9 jugadores)
¿El orden importa? SÍ (posición en la fila)
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN SIMPLE

Paso 2: Aplicar la fórmula

$$P(9) = 9!$$

Paso 3: Calcular

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$9 \times 8 = 72$
$72 \times 7 = 504$
$504 \times 6 = 3,024$
$3,024 \times 5 = 15,120$
$15,120 \times 4 = 60,480$
$60,480 \times 3 = 181,440$
$181,440 \times 2 = 362,880$
$362,880 \times 1 = 362,880$

$$P(9) = 362,880$$

Respuesta: Los jugadores pueden acomodarse de 362,880 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 11

En una carrera de atletismo compiten 10 corredores. Si todos llegan a la meta (sin empates), ¿de cuántas formas diferentes pueden terminar la carrera en cuanto al orden de llegada?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? NO (cada corredor es diferente)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (todos los 10 corredores)
¿El orden importa? SÍ (orden de llegada)
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN SIMPLE

Paso 2: Aplicar la fórmula

$$P(10) = 10!$$

Paso 3: Calcular

$10! = 3,628,800$

$$P(10) = 3,628,800$$

Respuesta: Pueden terminar la carrera de 3,628,800 formas diferentes.

📝 Ejercicio 12

Una contraseña visual se forma con 12 símbolos: 5 círculos (○), 4 cuadrados (□) y 3 triángulos (△). ¿Cuántas contraseñas visuales diferentes se pueden crear ordenando todos estos símbolos?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Hay elementos repetidos? SÍ (5 círculos, 4 cuadrados, 3 triángulos)
¿Se ordenan todos los elementos? SÍ (los 12 símbolos)
¿El orden importa? SÍ
Conclusión: Es una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

Total de símbolos: $n = 12$
Círculos: 5 repeticiones
Cuadrados: 4 repeticiones
Triángulos: 3 repeticiones

Paso 3: Aplicar la fórmula

PR^{12}_{(5, 4, 3)} = \frac{12!}{5! \cdot 4! \cdot 3!}

Paso 4: Calcular

$12! = 479,001,600$
$5! = 120$
$4! = 24$
$3! = 6$
Denominador: $120 \times 24 \times 6 = 17,280$

\frac{479,001,600}{17,280} = 27,720

Respuesta: Se pueden crear 27,720 contraseñas visuales diferentes.

🎯 ¡Excelente Trabajo!

📊 Resumen de Ejercicios Completados

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6

Permutaciones Simples

✓

6

Permutaciones con Repetición

💡 Clave para Identificar

Pregunta fundamental:

¿Hay elementos repetidos en el conjunto que voy a ordenar?

❌ NO hay repetidos: Permutación Simple → $P(n) = n!$
✅ SÍ hay repetidos: Permutación con Repetición → $\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...}$

🌟 Recuerda 🌟

En ambos tipos de permutaciones:
✓ Se ordenan TODOS los elementos
✓ El orden SÍ importa
✓ La diferencia está en las repeticiones