📊 Ejercicios de Técnicas de Conteo
Variación y Combinación 📊

Práctica Mixta: Identifica y Resuelve

En esta presentación encontrarás:

4️⃣

Variaciones con Repetición

4️⃣

Variaciones sin Repetición

6️⃣

Combinaciones

⚡ Los ejercicios están mezclados: ¡Identifica qué técnica usar! ⚡

🎓 Contextos cercanos a tu vida: redes sociales, videojuegos, música, deportes y más

📐 Recordatorio: Fórmulas de Técnicas de Conteo

🔄 Variaciones con Repetición (VR)

Situación: Se permite repetir elementos y el orden importa.

$$VR(n,r) = n^r$$

Ejemplo: Contraseñas, códigos PIN, placas de autos.

🎯 Variaciones sin Repetición (V)

Situación: NO se permite repetir elementos y el orden importa.

V(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Ejemplo: Podios, cargos directivos, carreras de caballos.

🎲 Combinaciones (C)

Situación: NO se permite repetir elementos y el orden NO importa.

C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Ejemplo: Comités, equipos, grupos, selección de elementos.

💡 Preguntas clave para identificar:

¿Se pueden repetir? → Si SÍ: VR | Si NO: V o C
¿El orden importa? → Si SÍ: VR o V | Si NO: C

📝 Ejercicio 1

En tu curso hay 20 estudiantes y deben formar un equipo de 5 personas para participar en una competencia de robótica. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar este equipo?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir estudiantes? NO (cada persona solo puede estar una vez en el equipo)
¿El orden importa? NO (solo importa quiénes forman el equipo, no tienen roles específicos)
Conclusión: Es una COMBINACIÓN

Paso 2: Aplicar la fórmula

C(20,5) = \binom{20}{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!}

Paso 3: Calcular

C(20,5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1,860,480}{120} = 15,504

Respuesta: Se puede formar el equipo de 15,504 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 2

Estás creando una contraseña para tu cuenta de Instagram usando exactamente 4 dígitos (0-9). Si puedes repetir dígitos, ¿cuántas contraseñas diferentes puedes crear?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir dígitos? SÍ (puedes usar el mismo número varias veces, como 2222)
¿El orden importa? SÍ (1234 es diferente a 4321)
Conclusión: Es una VARIACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 10$ (dígitos disponibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
$r = 4$ (longitud de la contraseña)

Paso 3: Aplicar la fórmula

$$VR(10,4) = 10^4 = 10,000$$

Respuesta: Puedes crear 10,000 contraseñas diferentes.

📝 Ejercicio 3

En una competencia de baile de tu colegio participan 12 parejas. Se deben premiar al primer, segundo y tercer lugar. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden asignar estos tres lugares?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir parejas? NO (una pareja no puede ganar dos lugares)
¿El orden importa? SÍ (1° lugar ≠ 2° lugar ≠ 3° lugar)
Conclusión: Es una VARIACIÓN SIN REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 12$ (parejas participantes)
$r = 3$ (lugares a premiar)

Paso 3: Aplicar la fórmula

V(12,3) = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 \times 11 \times 10

Paso 4: Calcular

V(12,3) = 12 \times 11 \times 10 = 1,320

Respuesta: Se pueden asignar los lugares de 1,320 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 4

Tienes 15 amigos en tu lista de contactos y quieres seleccionar a 4 de ellos para formar un grupo de WhatsApp para organizar una fiesta sorpresa. ¿De cuántas formas puedes elegir a estas 4 personas?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir amigos? NO
¿El orden importa? NO (solo importa quiénes están en el grupo)
Conclusión: Es una COMBINACIÓN

Paso 2: Aplicar la fórmula

C(15,4) = \binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!}

Paso 3: Calcular

C(15,4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{32,760}{24} = 1,365

Respuesta: Puedes formar el grupo de 1,365 formas diferentes.

📝 Ejercicio 5

En un juego de rol online, tu personaje puede elegir 5 habilidades especiales. Cada habilidad puede ser de uno de 4 tipos: Ataque, Defensa, Velocidad o Magia. Si puedes repetir tipos de habilidades (por ejemplo, tener 3 de Ataque), ¿cuántas combinaciones diferentes de habilidades puedes crear?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir tipos? SÍ (puedes elegir el mismo tipo varias veces)
¿El orden importa? SÍ (la posición de cada habilidad es importante: habilidad 1, 2, 3, 4, 5)
Conclusión: Es una VARIACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 4$ (tipos de habilidades disponibles)
$r = 5$ (número de habilidades a elegir)

Paso 3: Aplicar la fórmula

$$VR(4,5) = 4^5 = 1,024$$

Respuesta: Puedes crear 1,024 combinaciones diferentes de habilidades.

📝 Ejercicio 6

Tu profesor de música organizó un concierto donde 10 estudiantes tocarán instrumentos. Debe decidir el orden de presentación para los primeros 4 estudiantes que abrirán el show. ¿De cuántas maneras puede ordenar a estos 4 estudiantes?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir estudiantes? NO (cada estudiante toca solo una vez)
¿El orden importa? SÍ (tocar primero es diferente a tocar cuarto)
Conclusión: Es una VARIACIÓN SIN REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 10$ (estudiantes disponibles)
$r = 4$ (posiciones a asignar)

Paso 3: Aplicar la fórmula

V(10,4) = \frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7

Paso 4: Calcular

V(10,4) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5,040

Respuesta: Puede ordenar a los estudiantes de 5,040 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 7

En Netflix hay una lista de 18 películas que quieres ver. Tienes tiempo este fin de semana para ver exactamente 6 de ellas. ¿De cuántas formas puedes elegir las 6 películas que verás?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir películas? NO (cada película se ve una sola vez)
¿El orden importa? NO (solo importa qué películas verás, no en qué orden)
Conclusión: Es una COMBINACIÓN

Paso 2: Aplicar la fórmula

C(18,6) = \binom{18}{6} = \frac{18!}{6!(18-6)!} = \frac{18!}{6! \cdot 12!}

Paso 3: Calcular

C(18,6) = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}

C(18,6) = \frac{13,366,080}{720} = 18,564

Respuesta: Puedes elegir las películas de 18,564 formas diferentes.

📝 Ejercicio 8

Vas a crear un avatar personalizado para un videojuego. Debes elegir 6 características (color de pelo, tipo de ojos, nariz, boca, ropa, accesorios) y cada característica tiene 5 opciones diferentes. ¿Cuántos avatares únicos diferentes puedes crear?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden "repetir" opciones entre características? SÍ (cada característica elige independientemente de las demás)
¿El orden/posición importa? SÍ (cada característica es diferente: pelo ≠ ojos ≠ boca, etc.)
Conclusión: Es una VARIACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 5$ (opciones por característica)
$r = 6$ (características totales)

Paso 3: Aplicar la fórmula

$$VR(5,6) = 5^6 = 15,625$$

Respuesta: Puedes crear 15,625 avatares únicos diferentes.

📝 Ejercicio 9

En tu playlist de Spotify tienes 25 canciones favoritas. Quieres crear una playlist más corta seleccionando exactamente 7 canciones para tu entrenamiento en el gimnasio. ¿De cuántas formas puedes seleccionar estas 7 canciones?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir canciones? NO (cada canción aparece una sola vez)
¿El orden importa? NO (solo importa qué canciones seleccionas para la playlist)
Conclusión: Es una COMBINACIÓN

Paso 2: Aplicar la fórmula

C(25,7) = \binom{25}{7} = \frac{25!}{7!(25-7)!} = \frac{25!}{7! \cdot 18!}

Paso 3: Calcular

C(25,7) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}

C(25,7) = \frac{2,422,728,000}{5,040} = 480,700

Respuesta: Puedes seleccionar las canciones de 480,700 formas diferentes.

📝 Ejercicio 10

En el consejo estudiantil de tu colegio hay 14 miembros. Deben elegir a 3 personas para ocupar los cargos de Presidente, Vicepresidente y Secretario (en ese orden). ¿De cuántas formas se pueden asignar estos tres cargos?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir personas? NO (una persona no puede ocupar dos cargos)
¿El orden importa? SÍ (Presidente ≠ Vicepresidente ≠ Secretario)
Conclusión: Es una VARIACIÓN SIN REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 14$ (miembros del consejo)
$r = 3$ (cargos a asignar)

Paso 3: Aplicar la fórmula

V(14,3) = \frac{14!}{(14-3)!} = \frac{14!}{11!} = 14 \times 13 \times 12

Paso 4: Calcular

V(14,3) = 14 \times 13 \times 12 = 2,184

Respuesta: Se pueden asignar los cargos de 2,184 formas diferentes.

📝 Ejercicio 11

Estás diseñando tu outfit (conjunto de ropa) para cada día de la semana escolar (5 días). Tienes 3 combinaciones básicas que puedes usar: deportiva, casual y formal. Si puedes repetir el mismo estilo en diferentes días, ¿cuántas formas diferentes tienes de planificar tu vestuario semanal?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir estilos? SÍ (puedes usar "casual" varios días)
¿El orden importa? SÍ (cada día es diferente: lunes ≠ martes ≠ miércoles, etc.)
Conclusión: Es una VARIACIÓN CON REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 3$ (estilos disponibles)
$r = 5$ (días de la semana escolar)

Paso 3: Aplicar la fórmula

$$VR(3,5) = 3^5 = 243$$

Respuesta: Tienes 243 formas diferentes de planificar tu vestuario semanal.

📝 Ejercicio 12

Una heladería tiene 12 sabores diferentes. Quieres pedir un helado con exactamente 4 sabores (en la misma copa, sin importar el orden). ¿De cuántas formas puedes elegir los 4 sabores?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir sabores? NO (cada sabor aparece solo una vez)
¿El orden importa? NO (fresa-chocolate-vainilla-limón es lo mismo que chocolate-fresa-limón-vainilla)
Conclusión: Es una COMBINACIÓN

Paso 2: Aplicar la fórmula

C(12,4) = \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}

Paso 3: Calcular

C(12,4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11,880}{24} = 495

Respuesta: Puedes elegir los sabores de 495 formas diferentes.

📝 Ejercicio 13

Tu profesor de arte organizó una exposición donde 9 estudiantes presentarán sus trabajos. Debe definir el orden de presentación para los primeros 5 estudiantes que expondrán. ¿De cuántas maneras puede organizar este orden?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir estudiantes? NO (cada estudiante presenta solo una vez)
¿El orden importa? SÍ (presentar primero es diferente a presentar quinto)
Conclusión: Es una VARIACIÓN SIN REPETICIÓN

Paso 2: Identificar valores

$n = 9$ (estudiantes que expondrán)
$r = 5$ (posiciones a ordenar)

Paso 3: Aplicar la fórmula

V(9,5) = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5

Paso 4: Calcular

V(9,5) = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15,120

Respuesta: Puede organizar el orden de 15,120 maneras diferentes.

📝 Ejercicio 14

En tu colegio, el equipo de fútbol tiene 16 jugadores inscritos. El entrenador debe seleccionar 11 jugadores para formar el equipo titular del próximo partido. ¿De cuántas formas puede seleccionar a estos 11 jugadores?

Solución

Paso 1: Identificar el tipo de problema

¿Se pueden repetir jugadores? NO (cada jugador puede estar solo una vez en el campo)
¿El orden importa? NO (solo importa quiénes forman el equipo titular, no sus posiciones específicas en este problema)
Conclusión: Es una COMBINACIÓN

Paso 2: Aplicar la fórmula

C(16,11) = \binom{16}{11} = \frac{16!}{11!(16-11)!} = \frac{16!}{11! \cdot 5!}

Paso 3: Calcular (Propiedad: $C(n,r) = C(n, n-r)$)

Podemos usar: $C(16,11) = C(16,5)$ para simplificar:

C(16,5) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{524,160}{120} = 4,368

Respuesta: El entrenador puede seleccionar el equipo titular de 4,368 formas diferentes.

🎯 ¡Excelente Trabajo!

📊 Resumen de Ejercicios Completados

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4

Variaciones con Repetición

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4

Variaciones sin Repetición

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6

Combinaciones

💡 Consejos para el Éxito

Lee cuidadosamente el enunciado para identificar las palabras clave.
Pregúntate: ¿Se puede repetir? ¿El orden importa?
Identifica qué técnica aplicar antes de calcular.
Verifica tus cálculos y que la respuesta tenga sentido.
Practica con diferentes tipos de problemas regularmente.

🌟 Fórmulas Rápidas 🌟

Con Repetición + Orden

$VR(n,r) = n^r$

Sin Repetición + Orden

$V(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Sin Repetición + Sin Orden

$C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

📊 Ejercicios de Técnicas de ConteoVariación y Combinación 📊

En esta presentación encontrarás:

📐 Recordatorio: Fórmulas de Técnicas de Conteo

💡 Preguntas clave para identificar:

🎯 ¡Excelente Trabajo!

📊 Resumen de Ejercicios Completados

💡 Consejos para el Éxito

🌟 Fórmulas Rápidas 🌟

📊 Ejercicios de Técnicas de Conteo
Variación y Combinación 📊