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Probabilidad

Reglas Fundamentales y Aplicaciones Prácticas

Matemáticas | Presentación Interactiva

¿Qué es la Probabilidad?

Introducción al Concepto

Definición

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Se expresa como un número entre 0 y 1, donde:

0 significa que el evento es imposible
1 significa que el evento es seguro
Valores entre 0 y 1 indican diferentes grados de incertidumbre

Conceptos Básicos

Experimento aleatorio: Un proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza
Espacio muestral (\(\Omega\)): Conjunto de todos los resultados posibles
Evento (A): Un subconjunto del espacio muestral

Ejemplos Cotidianos

Lanzar una moneda: ¿cara o cruz?
Tirar un dado: ¿qué número saldrá?
Ganar en un videojuego: ¿cuál es tu probabilidad de victoria?
Obtener un item raro en un juego: ¿qué tan difícil es?

Regla de Laplace

Probabilidad Clásica o Equiprobabilidad

Regla de Laplace

Cuando todos los resultados de un experimento son igualmente probables, la probabilidad de un evento A se calcula como:

\[P(A) = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos totales}} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}\]

Donde:

\(n(A)\) = cantidad de resultados que nos interesan (casos favorables)
\(n(\Omega)\) = cantidad total de resultados posibles (espacio muestral)

¿Cuándo usarla?

La Regla de Laplace se aplica cuando:

Todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir
Podemos contar fácilmente los casos favorables y totales
No hay sesgos o influencias que favorezcan algún resultado

Ejemplos: Lanzar dados justos, monedas equilibradas, sorteos aleatorios, etc.

Regla de Laplace

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Lanzamiento de Dado 🎲

Al lanzar un dado justo de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Solución

Paso 1: Espacio muestral: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), entonces \(n(\Omega) = 6\)

Paso 2: Números pares: \(A = \{2, 4, 6\}\), entonces \(n(A) = 3\)

Paso 3: Aplicar Regla de Laplace:

\[P(\text{par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Respuesta: La probabilidad es 0.5 o 50%

Ejemplo 2: Selección de Cartas ♠️

De una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un As al azar?

Solución

Paso 1: Total de cartas: \(n(\Omega) = 40\)

Paso 2: Ases en la baraja (uno por palo): \(n(A) = 4\)

Paso 3: Aplicar Regla de Laplace:

\[P(\text{As}) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} = 0.1\]

Respuesta: La probabilidad es 0.1 o 10%

Regla de Laplace

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Examen de Opción Múltiple 📝

En un examen tienes una pregunta con 5 alternativas, de las cuales solo una es correcta. Si respondes al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar?

Solución

Paso 1: Total de alternativas: \(n(\Omega) = 5\)

Paso 2: Alternativas correctas: \(n(A) = 1\)

Paso 3: Aplicar Regla de Laplace:

\[P(\text{acertar}) = \frac{1}{5} = 0.2\]

Respuesta: La probabilidad es 0.2 o 20%

💡 ¡Por eso es mejor estudiar que adivinar!

Ejemplo 4: Loot Box en Videojuego 🎮

En un juego obtienes un loot box con 25 items posibles: 10 comunes, 8 raros, 5 épicos y 2 legendarios. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un item legendario?

Solución

Paso 1: Total de items: \(n(\Omega) = 25\)

Paso 2: Items legendarios: \(n(A) = 2\)

Paso 3: Aplicar Regla de Laplace:

\[P(\text{legendario}) = \frac{2}{25} = 0.08\]

Respuesta: La probabilidad es 0.08 o 8%

💡 ¡Por eso los legendarios son tan raros!

Regla Aditiva de Probabilidades

Probabilidad de la Unión de Eventos

Regla Aditiva General

La regla aditiva nos permite calcular la probabilidad de que ocurra el evento \(A\) o el evento \(B\) (o ambos).

Fórmula General:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Donde:

\(P(A \cup B)\) = Probabilidad de que ocurra A o B (unión)
\(P(A \cap B)\) = Probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente (intersección)
Restamos \(P(A \cap B)\) para no contar dos veces los casos donde ocurren ambos

Caso Especial: Eventos Mutuamente Excluyentes

Si los eventos NO pueden ocurrir al mismo tiempo (son mutuamente excluyentes), entonces \(P(A \cap B) = 0\), y la fórmula se simplifica a:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Ejemplo: Al lanzar un dado, obtener "3" y obtener "5" son mutuamente excluyentes.

Regla Aditiva General

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Estudiantes y Deportes ⚽🏀

En tu curso de 30 estudiantes, 18 juegan fútbol, 15 juegan básquetbol y 10 juegan ambos deportes. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue fútbol o básquetbol?

Solución

Paso 1: \(P(F) = \frac{18}{30}\), \(P(B) = \frac{15}{30}\), \(P(F \cap B) = \frac{10}{30}\)

Paso 2: Aplicar Regla Aditiva General:

\[P(F \cup B) = \frac{18}{30} + \frac{15}{30} - \frac{10}{30} = \frac{23}{30} \approx 0.767\]

Respuesta: La probabilidad es 76.7%

Ejemplo 2: Instagram y TikTok 📱

En una encuesta a 200 jóvenes: 140 usan Instagram, 120 usan TikTok, y 80 usan ambas redes. Si eliges un joven al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use Instagram o TikTok?

Solución

Paso 1: \(P(I) = \frac{140}{200} = 0.7\), \(P(T) = \frac{120}{200} = 0.6\), \(P(I \cap T) = \frac{80}{200} = 0.4\)

Paso 2: Aplicar Regla Aditiva:

\[P(I \cup T) = 0.7 + 0.6 - 0.4 = 0.9\]

Respuesta: La probabilidad es 0.9 o 90%

Regla Aditiva General

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Free Fire y Call of Duty 🎮

En tu grupo gaming de 50 amigos: 35 juegan Free Fire, 25 juegan Call of Duty Mobile, y 15 juegan ambos. Si contactas a un amigo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue Free Fire o Call of Duty?

Solución

Paso 1: \(P(FF) = \frac{35}{50} = 0.7\), \(P(COD) = \frac{25}{50} = 0.5\), \(P(FF \cap COD) = \frac{15}{50} = 0.3\)

Paso 2: Aplicar Regla Aditiva:

\[P(FF \cup COD) = 0.7 + 0.5 - 0.3 = 0.9\]

Respuesta: La probabilidad es 90%

Ejemplo 4: Características de Smartphones 📱

En tu curso de 40 estudiantes: 24 tienen celular con cámara de más de 48MP, 20 tienen 5G, y 12 tienen ambas características. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante al azar tenga al menos una de estas características?

Solución

Paso 1: \(P(\text{cámara}) = \frac{24}{40} = 0.6\), \(P(\text{5G}) = \frac{20}{40} = 0.5\), \(P(\text{ambas}) = \frac{12}{40} = 0.3\)

Paso 2: Aplicar Regla Aditiva:

\[P(\text{cámara} \cup \text{5G}) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8\]

Respuesta: La probabilidad es 80%

Eventos Mutuamente Excluyentes

Caso Especial de la Regla Aditiva

Definición

Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando NO pueden ocurrir al mismo tiempo.

En este caso: \(P(A \cap B) = 0\)

Fórmula Simplificada:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

¿Cómo identificarlos?

Ejemplos de eventos mutuamente excluyentes:

Obtener cara y cruz en un lanzamiento de moneda
Sacar un 3 y un 5 en un lanzamiento de dado
Que un estudiante esté en 1° y en 2° año al mismo tiempo
Ganar y perder el mismo partido

NO son mutuamente excluyentes:

Ser mujer y usar lentes (pueden ocurrir juntos)
Jugar fútbol y jugar videojuegos
Tener Instagram y TikTok

Eventos Mutuamente Excluyentes

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Dado en Monopoly 🎲

En una partida de Monopoly, lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un 3?

Solución

Eventos: A = {2, 4, 6} (par), B = {3}. Son mutuamente excluyentes.

Probabilidades: \(P(\text{par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(P(\text{tres}) = \frac{1}{6}\)

\[P(\text{par} \cup \text{tres}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667\]

Respuesta: La probabilidad es 66.7%

Ejemplo 2: Cómo Llegas al Colegio 🚌🚗

En tu curso, los estudiantes llegan: 12 en bus escolar, 8 en auto, 6 en transporte público, 3 en bicicleta y 1 caminando. Si eliges un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue en bicicleta o caminando?

Solución

Total: 30 estudiantes. Eventos: Bicicleta = 3, Caminando = 1. Son mutuamente excluyentes.

\[P(\text{bici} \cup \text{caminar}) = \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \approx 0.133\]

Respuesta: La probabilidad es 13.3%

Eventos Mutuamente Excluyentes

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Resultados del Torneo 🏆

En un torneo de LOL participan 8 equipos. Tu equipo favorito tiene probabilidad 0.15 de ganar, 0.25 de quedar segundo, 0.20 de quedar tercero. ¿Cuál es la probabilidad de que quede en el podio (1°, 2° o 3° lugar)?

Solución

Eventos mutuamente excluyentes: No puedes quedar en dos lugares a la vez.

\[P(\text{podio}) = P(1°) + P(2°) + P(3°) = 0.15 + 0.25 + 0.20 = 0.60\]

Respuesta: La probabilidad de quedar en el podio es 60%

Ejemplo 4: Ruleta en Festival Escolar 🎯

En el festival del colegio hay una ruleta dividida en 20 sectores iguales: 8 rojos (dulces), 6 azules (stickers), 4 verdes (llaveros) y 2 dorados (AirPods). ¿Cuál es la probabilidad de ganar llaveros o AirPods?

Solución

Total: 20 sectores. Eventos mutuamente excluyentes: Cada sector tiene un solo color.

\(P(\text{llaveros}) = \frac{4}{20} = 0.2\), \(P(\text{AirPods}) = \frac{2}{20} = 0.1\)

\[P(\text{llaveros} \cup \text{AirPods}) = 0.2 + 0.1 = 0.3\]

Respuesta: La probabilidad es 30%

Regla Multiplicativa de Probabilidades

Probabilidad de la Intersección de Eventos

Regla Multiplicativa

La regla multiplicativa nos permite calcular la probabilidad de que ocurran el evento \(A\) y el evento \(B\) (ambos).

Fórmula General:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\]

Donde:

\(P(A \cap B)\) = Probabilidad de que ocurran A y B
\(P(B|A)\) = Probabilidad de B dado que ya ocurrió A (probabilidad condicional)

Caso Especial: Eventos Independientes

Si los eventos son independientes (uno no afecta al otro), entonces \(P(B|A) = P(B)\), y la fórmula se simplifica a:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

Ejemplo: Lanzar una moneda y un dado son eventos independientes.

Regla Multiplicativa - Eventos Independientes

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Gaming y Música 🎮🎧

Juegas LOL mientras escuchas música en shuffle. La probabilidad de ganar es 0.6. Tu playlist tiene 30 canciones y 12 son favoritas. ¿Cuál es la probabilidad de ganar la partida y que suene una canción favorita?

Solución

Probabilidades: \(P(\text{ganar}) = 0.6\), \(P(\text{canción favorita}) = \frac{12}{30} = 0.4\)

Independencia: La música no afecta tu desempeño en el juego.

\[P(\text{ganar} \cap \text{favorita}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24\]

Respuesta: La probabilidad es 24%

Ejemplo 2: Juego de Mesa Combinado 🪙🎲

En un juego de mesa debes lanzar una moneda y un dado simultáneamente. Ganas un premio si obtienes cara en la moneda y un número mayor que 4 en el dado. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

Solución

Probabilidades: \(P(\text{cara}) = \frac{1}{2}\), \(P(\text{número > 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (números 5 y 6)

Independencia: La moneda y el dado son independientes.

\[P(\text{cara y número > 4}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.167\]

Respuesta: La probabilidad es 16.7%

Regla Multiplicativa - Eventos Independientes

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Viernes Perfecto 📺🍕

Un viernes por la noche, Netflix tiene 70% de probabilidad de no presentar fallas y tu app de delivery tiene 85% de probabilidad de entregar a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de disfrutar tu serie sin interrupciones y recibir tu pizza a tiempo?

Solución

Probabilidades: \(P(\text{Netflix OK}) = 0.7\), \(P(\text{delivery a tiempo}) = 0.85\)

Independencia: Netflix y el delivery funcionan independientemente.

\[P(\text{viernes perfecto}) = 0.7 \times 0.85 = 0.595\]

Respuesta: La probabilidad es 59.5%

Ejemplo 4: Examen de Selección Múltiple 📝

En un examen online tienes 2 preguntas de selección múltiple. La primera tiene 4 alternativas y la segunda tiene 5. Si respondes al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar ambas?

Solución

Probabilidades: \(P(\text{acertar 1°}) = \frac{1}{4}\), \(P(\text{acertar 2°}) = \frac{1}{5}\)

Independencia: Acertar una no afecta a la otra.

\[P(\text{ambas correctas}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{20} = 0.05\]

Respuesta: La probabilidad es 5%

⚠️ ¡Por eso es mejor estudiar que responder al azar!

Regla Multiplicativa - Eventos Dependientes

Ejemplos 1 y 2

Ejemplo 1: Dulces sin Reposición 🍬

En una bolsa tienes 15 dulces: 6 de fresa, 5 de menta y 4 de limón. Sacas 2 dulces seguidos SIN devolver el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean de fresa?

Solución

Nota: Como NO devuelves el primer dulce, los eventos son dependientes.

Probabilidades: \(P(\text{1° fresa}) = \frac{6}{15}\), \(P(\text{2° fresa | 1° fresa}) = \frac{5}{14}\) (quedan 5 fresas de 14 totales)

\[P(\text{ambos fresa}) = \frac{6}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7} \approx 0.143\]

Respuesta: La probabilidad es 14.3%

Ejemplo 2: Delegados de Curso 👥

En tu curso hay 30 estudiantes: 18 mujeres y 12 hombres. Se eligen al azar 2 delegados, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos delegados sean mujeres?

Solución

Nota: El primer delegado elegido no puede ser elegido otra vez, los eventos son dependientes.

Probabilidades: \(P(\text{1° mujer}) = \frac{18}{30}\), \(P(\text{2° mujer | 1° mujer}) = \frac{17}{29}\)

\[P(\text{ambas mujeres}) = \frac{18}{30} \times \frac{17}{29} = \frac{306}{870} = \frac{51}{145} \approx 0.352\]

Respuesta: La probabilidad es 35.2%

Regla Multiplicativa - Eventos Dependientes

Ejemplos 3 y 4

Ejemplo 3: Playlist sin Repetición 🎵

En una fiesta tienes una playlist de 20 canciones: 8 de reggaetón, 7 de pop, 3 de rock y 2 de electrónica. Si se reproducen 2 canciones seguidas sin repetir, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean de reggaetón?

Solución

Importante: Al no repetir canciones, los eventos son dependientes.

Probabilidades: \(P(\text{1° reggaetón}) = \frac{8}{20}\), \(P(\text{2° reggaetón | 1° reggaetón}) = \frac{7}{19}\)

\[P(\text{ambas reggaetón}) = \frac{8}{20} \times \frac{7}{19} = \frac{56}{380} = \frac{14}{95} \approx 0.147\]

Respuesta: La probabilidad es 14.7%

Ejemplo 4: Juego de UNO 🃏

En un mazo de UNO simplificado tienes 40 cartas: 10 rojas, 10 azules, 10 verdes y 10 amarillas. Si sacas 2 cartas seguidas sin devolver la primera, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

Solución

Contexto: Al no devolver la primera carta, los eventos son dependientes.

Probabilidades: \(P(\text{1° roja}) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}\), \(P(\text{2° roja | 1° roja}) = \frac{9}{39} = \frac{3}{13}\)

\[P(\text{ambas rojas}) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{13} = \frac{3}{52} \approx 0.058\]

Respuesta: La probabilidad es 5.8%

💡 Si las cartas se devolvieran, la probabilidad sería \(\frac{1}{16}\) ≈ 6.25%

Resumen

Conceptos Clave de Probabilidad

Fórmulas Fundamentales

1. Regla de Laplace (equiprobabilidad):

\[P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos totales}}\]

2. Regla Aditiva (probabilidad de A o B):

General: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Mutuamente excluyentes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

3. Regla Multiplicativa (probabilidad de A y B):

General: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)

Independientes: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)

Recuerda

La probabilidad siempre está entre 0 y 1
Identifica si los eventos pueden ocurrir juntos o no
Verifica si un evento afecta al otro
La suma de todas las probabilidades = 1