📊 Distribución Binomial

Probabilidad y Estadística

Una variable aleatoria discreta fundamental

🎯 Definición de Distribución Binomial

Una distribución binomial es un modelo de probabilidad que describe el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes, donde cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.

📋 Condiciones para aplicar la distribución binomial:

Número fijo de ensayos: Se realizan exactamente $n$ ensayos o repeticiones del experimento.
Dos resultados posibles: Cada ensayo tiene solo dos resultados mutuamente excluyentes: "éxito" o "fracaso".
Independencia: Los ensayos son independientes entre sí. El resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro.
Probabilidad constante: La probabilidad de éxito $p$ es la misma en cada ensayo.

Notación: Si una variable aleatoria $X$ sigue una distribución binomial, escribimos: $X \sim B(n, p)$

donde $n$ = número de ensayos y $p$ = probabilidad de éxito en cada ensayo

📐 Fórmula de la Distribución Binomial

La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ ensayos se calcula mediante:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

🔍 Componentes de la fórmula:

$\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ : Coeficiente binomial que cuenta las formas de elegir $k$ éxitos entre $n$ ensayos.
$p^k$ : Probabilidad de obtener $k$ éxitos (donde $p$ es la probabilidad de éxito en un ensayo).
$(1-p)^{n-k}$ : Probabilidad de obtener $n-k$ fracasos (donde $1-p$ es la probabilidad de fracaso en un ensayo).
$k$ : Número de éxitos que queremos calcular (donde $k = 0, 1, 2, \ldots, n$).
$n$ : Número total de ensayos independientes.

📝 Nota importante:

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos. Para calcular probabilidades acumuladas (como "al menos" o "a lo sumo"), debemos sumar las probabilidades correspondientes.

📝 Ejemplo 1: Lanzamiento de Moneda

Enunciado:

Se lanza una moneda justa 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores

$n = 5$ (número de lanzamientos)
$k = 3$ (número de éxitos deseados: obtener cara)
$p = 0.5$ (probabilidad de obtener cara en un lanzamiento)
$1 - p = 0.5$ (probabilidad de obtener sello)

Paso 2: Verificar condiciones de la distribución binomial

✓ Número fijo de ensayos: 5 lanzamientos
✓ Dos resultados posibles: cara o sello
✓ Ensayos independientes: cada lanzamiento no afecta a los demás
✓ Probabilidad constante: $p = 0.5$ en cada lanzamiento

Paso 3: Aplicar la fórmula de distribución binomial

P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3}

Paso 4: Calcular el coeficiente binomial

\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10

Paso 5: Calcular las potencias

$$(0.5)^3 = 0.125$$ $$(0.5)^2 = 0.25$$

Paso 6: Calcular la probabilidad final

P(X = 3) = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 10 \times 0.03125 = 0.3125

Respuesta: La probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 5 lanzamientos es 0.3125 o 31.25%

📝 Ejemplo 2: Control de Calidad

Enunciado:

Una fábrica produce componentes electrónicos. Se sabe que el 10% de los componentes son defectuosos. Si se seleccionan al azar 8 componentes, ¿cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 2 componentes defectuosos?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores

$n = 8$ (número de componentes seleccionados)
$k = 2$ (número de componentes defectuosos que buscamos)
$p = 0.10$ (probabilidad de que un componente sea defectuoso)
$1 - p = 0.90$ (probabilidad de que un componente NO sea defectuoso)

Paso 2: Verificar condiciones de la distribución binomial

✓ Número fijo de ensayos: 8 componentes
✓ Dos resultados posibles: defectuoso o no defectuoso
✓ Ensayos independientes: la selección de un componente no afecta a los demás
✓ Probabilidad constante: $p = 0.10$ para cada componente

Paso 3: Aplicar la fórmula de distribución binomial

P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot (0.10)^2 \cdot (0.90)^{8-2}

Paso 4: Calcular el coeficiente binomial

\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{56}{2} = 28

Paso 5: Calcular las potencias

$$(0.10)^2 = 0.01$$ $$(0.90)^6 = 0.531441$$

Paso 6: Calcular la probabilidad final

P(X = 2) = 28 \times 0.01 \times 0.531441 = 28 \times 0.00531441 = 0.14880

Respuesta: La probabilidad de encontrar exactamente 2 componentes defectuosos en una muestra de 8 es 0.1488 o 14.88%

💡 Interpretación: Aproximadamente 1 de cada 7 muestras de 8 componentes contendrá exactamente 2 defectuosos.

📝 Ejemplo 3: Examen de Opción Múltiple

Enunciado:

Un estudiante responde al azar un examen de 10 preguntas de opción múltiple. Cada pregunta tiene 4 alternativas y solo una es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante acierte exactamente 4 preguntas?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores

$n = 10$ (número de preguntas en el examen)
$k = 4$ (número de preguntas que se desea acertar)
$p = \frac{1}{4} = 0.25$ (probabilidad de acertar una pregunta al azar)
$1 - p = \frac{3}{4} = 0.75$ (probabilidad de fallar una pregunta)

Paso 2: Verificar condiciones de la distribución binomial

✓ Número fijo de ensayos: 10 preguntas
✓ Dos resultados posibles: respuesta correcta o incorrecta
✓ Ensayos independientes: responder una pregunta no afecta a las demás
✓ Probabilidad constante: $p = 0.25$ para cada pregunta

Paso 3: Aplicar la fórmula de distribución binomial

P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot (0.25)^4 \cdot (0.75)^{10-4}

Paso 4: Calcular el coeficiente binomial

\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{5040}{24} = 210

Paso 5: Calcular las potencias

$$(0.25)^4 = 0.00390625$$ $$(0.75)^6 = 0.177978$$

Paso 6: Calcular la probabilidad final

P(X = 4) = 210 \times 0.00390625 \times 0.177978 = 210 \times 0.000695229 = 0.14600

Respuesta: La probabilidad de acertar exactamente 4 preguntas respondiendo al azar es 0.1460 o 14.60%

⚠️ Advertencia académica: ¡Esta baja probabilidad de éxito demuestra que estudiar es mucho más efectivo que adivinar! 📚

📝 Ejemplo 4: Tiros Libres en Baloncesto

Enunciado:

Un jugador de baloncesto tiene una efectividad del 75% en tiros libres. Si lanza 6 tiros libres en un partido, ¿cuál es la probabilidad de que anote exactamente 5 tiros?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores

$n = 6$ (número de tiros libres lanzados)
$k = 5$ (número de tiros anotados que buscamos)
$p = 0.75$ (probabilidad de anotar un tiro libre)
$1 - p = 0.25$ (probabilidad de fallar un tiro libre)

Paso 2: Verificar condiciones de la distribución binomial

✓ Número fijo de ensayos: 6 tiros libres
✓ Dos resultados posibles: anotar o fallar
✓ Ensayos independientes: el resultado de un tiro no afecta a los demás
✓ Probabilidad constante: $p = 0.75$ para cada tiro

Paso 3: Aplicar la fórmula de distribución binomial

P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot (0.75)^5 \cdot (0.25)^{6-5}

Paso 4: Calcular el coeficiente binomial

\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1} = 6

Paso 5: Calcular las potencias

$$(0.75)^5 = 0.237305$$ $$(0.25)^1 = 0.25$$

Paso 6: Calcular la probabilidad final

P(X = 5) = 6 \times 0.237305 \times 0.25 = 6 \times 0.05932625 = 0.35596

Respuesta: La probabilidad de anotar exactamente 5 de 6 tiros libres es 0.3560 o 35.60%

🏀 Dato interesante: Esta es una probabilidad relativamente alta, lo que indica que para un jugador con 75% de efectividad, anotar 5 de 6 tiros es un resultado bastante probable.

📝 Ejemplo 5: Encuesta de Preferencias

Enunciado:

En una ciudad, se sabe que el 60% de los habitantes prefieren el transporte público sobre el automóvil privado. Si se encuesta a 7 personas elegidas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 prefieran el transporte público?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores

$n = 7$ (número de personas encuestadas)
$k = 3$ (número de personas que prefieren transporte público)
$p = 0.60$ (probabilidad de preferir transporte público)
$1 - p = 0.40$ (probabilidad de preferir automóvil privado)

Paso 2: Verificar condiciones de la distribución binomial

✓ Número fijo de ensayos: 7 personas encuestadas
✓ Dos resultados posibles: prefiere transporte público o automóvil privado
✓ Ensayos independientes: la preferencia de una persona no afecta a las demás
✓ Probabilidad constante: $p = 0.60$ para cada persona

Paso 3: Aplicar la fórmula de distribución binomial

P(X = 3) = \binom{7}{3} \cdot (0.60)^3 \cdot (0.40)^{7-3}

Paso 4: Calcular el coeficiente binomial

\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{210}{6} = 35

Paso 5: Calcular las potencias

$$(0.60)^3 = 0.216$$ $$(0.40)^4 = 0.0256$$

Paso 6: Calcular la probabilidad final

P(X = 3) = 35 \times 0.216 \times 0.0256 = 35 \times 0.0055296 = 0.19354

Respuesta: La probabilidad de que exactamente 3 de 7 personas encuestadas prefieran el transporte público es 0.1935 o 19.35%

📊 Análisis: Aunque el 60% de la población prefiere transporte público, la probabilidad de obtener exactamente 3 de 7 en una muestra es moderada, ya que el valor más probable sería 4 o 5 personas.

📝 Ejemplo 6: Germinación de Semillas

Enunciado:

Un agricultor utiliza semillas con una tasa de germinación del 85%. Si planta 9 semillas, ¿cuál es la probabilidad de que germinen exactamente 7 semillas?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores

$n = 9$ (número de semillas plantadas)
$k = 7$ (número de semillas que germinan)
$p = 0.85$ (probabilidad de que una semilla germine)
$1 - p = 0.15$ (probabilidad de que una semilla no germine)

Paso 2: Verificar condiciones de la distribución binomial

✓ Número fijo de ensayos: 9 semillas plantadas
✓ Dos resultados posibles: germina o no germina
✓ Ensayos independientes: la germinación de una semilla no afecta a las demás
✓ Probabilidad constante: $p = 0.85$ para cada semilla

Paso 3: Aplicar la fórmula de distribución binomial

P(X = 7) = \binom{9}{7} \cdot (0.85)^7 \cdot (0.15)^{9-7}

Paso 4: Calcular el coeficiente binomial

\binom{9}{7} = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \times 8 \times 7!}{7! \times 2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36

Paso 5: Calcular las potencias

$$(0.85)^7 = 0.320577$$ $$(0.15)^2 = 0.0225$$

Paso 6: Calcular la probabilidad final

P(X = 7) = 36 \times 0.320577 \times 0.0225 = 36 \times 0.00721299 = 0.25967

Respuesta: La probabilidad de que germinen exactamente 7 de 9 semillas es 0.2597 o 25.97%

🌱 Contexto agrícola: Con una tasa de germinación del 85%, es más probable que germinen 8 semillas que exactamente 7. Este cálculo ayuda al agricultor a planificar cuántas semillas debe plantar para obtener el número deseado de plantas.

📈 Probabilidades Acumuladas en Distribución Binomial

Hasta ahora hemos calculado la probabilidad de obtener exactamente k éxitos. Pero en muchos problemas prácticos necesitamos calcular probabilidades para rangos de valores.

🔍 Tipos de Probabilidades Acumuladas:

1️⃣ "Al menos k éxitos" $(X \geq k)$

P(X \geq k) = P(X = k) + P(X = k+1) + \cdots + P(X = n)

Ejemplo: Al menos 3 éxitos significa 3, 4, 5, ..., hasta n éxitos.

2️⃣ "A lo sumo k éxitos" $(X \leq k)$

P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = k)

Ejemplo: A lo sumo 2 éxitos significa 0, 1 o 2 éxitos.

3️⃣ "Más de k éxitos" $(X > k)$

P(X > k) = P(X = k+1) + P(X = k+2) + \cdots + P(X = n)

Equivalente a: $P(X > k) = P(X \geq k+1)$

4️⃣ "Menos de k éxitos" $(X < k)$

P(X < k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = k-1)

Equivalente a: $P(X < k) = P(X \leq k-1)$

5️⃣ "Entre k₁ y k₂ éxitos" $(k_1 \leq X \leq k_2)$

P(k_1 \leq X \leq k_2) = P(X = k_1) + P(X = k_1+1) + \cdots + P(X = k_2)

Ejemplo: Entre 2 y 5 éxitos significa 2, 3, 4 o 5 éxitos.

💡 Estrategia: Uso del Complemento

A veces es más fácil calcular el complemento que sumar muchas probabilidades:

P(X \geq k) = 1 - P(X < k) = 1 - P(X \leq k-1)

Ejemplo: Para calcular $P(X \geq 8)$ en 10 ensayos, es más fácil calcular $1 - P(X \leq 7)$ que sumar $P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$.

📝 Ejemplo 7: Ventas de un Producto (Al menos)

Enunciado:

Un vendedor tiene una probabilidad del 40% de cerrar una venta en cada visita a un cliente. Si realiza 5 visitas en un día, ¿cuál es la probabilidad de que cierre al menos 3 ventas?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores y el tipo de problema

$n = 5$ (número de visitas)
$p = 0.40$ (probabilidad de cerrar una venta)
$1 - p = 0.60$ (probabilidad de no cerrar una venta)
"Al menos 3 ventas" significa $X \geq 3$, es decir: 3, 4 o 5 ventas

Paso 2: Plantear la suma de probabilidades

P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Paso 3: Calcular $P(X = 3)$

P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot (0.40)^3 \cdot (0.60)^2$$ $$= 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 10 \cdot 0.02304 = 0.2304

Paso 4: Calcular $P(X = 4)$

P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot (0.40)^4 \cdot (0.60)^1$$ $$= 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.60 = 5 \cdot 0.01536 = 0.0768

Paso 5: Calcular $P(X = 5)$

P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot (0.40)^5 \cdot (0.60)^0$$ $$= 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024

Paso 6: Sumar todas las probabilidades

P(X \geq 3) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744

Respuesta: La probabilidad de cerrar al menos 3 ventas en 5 visitas es 0.3174 o 31.74%

💼 Interpretación: Aproximadamente 1 de cada 3 días el vendedor logrará cerrar 3 o más ventas. Para "al menos k" siempre debemos sumar desde k hasta n.

📝 Ejemplo 8: Errores en Producción (A lo sumo)

Enunciado:

En una línea de producción, la probabilidad de que una pieza tenga un defecto es del 15%. Si se inspeccionan 6 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a lo sumo 2 piezas defectuosas?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores y el tipo de problema

$n = 6$ (número de piezas inspeccionadas)
$p = 0.15$ (probabilidad de que una pieza sea defectuosa)
$1 - p = 0.85$ (probabilidad de que una pieza NO sea defectuosa)
"A lo sumo 2 defectuosas" significa $X \leq 2$, es decir: 0, 1 o 2 defectuosas

Paso 2: Plantear la suma de probabilidades

P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Paso 3: Calcular $P(X = 0)$

P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (0.15)^0 \cdot (0.85)^6$$ $$= 1 \cdot 1 \cdot 0.377149 = 0.377149

Paso 4: Calcular $P(X = 1)$

P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (0.15)^1 \cdot (0.85)^5$$ $$= 6 \cdot 0.15 \cdot 0.443705 = 6 \cdot 0.0665558 = 0.399335

Paso 5: Calcular $P(X = 2)$

P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot (0.15)^2 \cdot (0.85)^4$$ $$= 15 \cdot 0.0225 \cdot 0.522006 = 15 \cdot 0.0117452 = 0.176178

Paso 6: Sumar todas las probabilidades

P(X \leq 2) = 0.377149 + 0.399335 + 0.176178 = 0.952662

Respuesta: La probabilidad de encontrar a lo sumo 2 piezas defectuosas en 6 inspeccionadas es 0.9527 o 95.27%

🏭 Interpretación: Es muy probable (95.27%) que en una muestra de 6 piezas haya 2 o menos defectuosas. Para "a lo sumo k" siempre sumamos desde 0 hasta k.

📝 Ejemplo 9: Aciertos en Dardos (Más de)

Enunciado:

Un jugador de dardos tiene una probabilidad del 30% de acertar en el centro del tablero. Si lanza 8 dardos, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 2 veces en el centro?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores y el tipo de problema

$n = 8$ (número de lanzamientos)
$p = 0.30$ (probabilidad de acertar en el centro)
$1 - p = 0.70$ (probabilidad de no acertar en el centro)
"Más de 2" significa $X > 2$, equivalente a $X \geq 3$

Paso 2: Usar el complemento para simplificar

P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]

Paso 3: Calcular $P(X = 0)$

P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot (0.30)^0 \cdot (0.70)^8$$ $$= 1 \cdot 1 \cdot 0.057648 = 0.057648

Paso 4: Calcular $P(X = 1)$

P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot (0.30)^1 \cdot (0.70)^7$$ $$= 8 \cdot 0.30 \cdot 0.082354 = 8 \cdot 0.0247062 = 0.197650

Paso 5: Calcular $P(X = 2)$

P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot (0.30)^2 \cdot (0.70)^6$$ $$= 28 \cdot 0.09 \cdot 0.117649 = 28 \cdot 0.0105884 = 0.296475

Paso 6: Calcular $P(X \leq 2)$ y luego el complemento

P(X \leq 2) = 0.057648 + 0.197650 + 0.296475 = 0.551773

$$P(X > 2) = 1 - 0.551773 = 0.448227$$

Respuesta: La probabilidad de acertar más de 2 veces en 8 lanzamientos es 0.4482 o 44.82%

🎯 Método alternativo: Usar el complemento ($1 - P(X \leq 2)$) es más eficiente que sumar $P(X=3) + P(X=4) + ... + P(X=8)$.

📝 Ejemplo 10: Llamadas de Soporte (Menos de)

Enunciado:

En un centro de llamadas, el 20% de las llamadas son quejas. Si un operador atiende 10 llamadas en una hora, ¿cuál es la probabilidad de que reciba menos de 3 quejas?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores y el tipo de problema

$n = 10$ (número de llamadas atendidas)
$p = 0.20$ (probabilidad de que una llamada sea queja)
$1 - p = 0.80$ (probabilidad de que una llamada NO sea queja)
"Menos de 3" significa $X < 3$, equivalente a $X \leq 2$

Paso 2: Plantear la suma de probabilidades

P(X < 3) = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Paso 3: Calcular $P(X = 0)$

P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot (0.20)^0 \cdot (0.80)^{10}$$ $$= 1 \cdot 1 \cdot 0.107374 = 0.107374

Paso 4: Calcular $P(X = 1)$

P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot (0.20)^1 \cdot (0.80)^9$$ $$= 10 \cdot 0.20 \cdot 0.134218 = 10 \cdot 0.0268436 = 0.268436

Paso 5: Calcular $P(X = 2)$

P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot (0.20)^2 \cdot (0.80)^8$$ $$= 45 \cdot 0.04 \cdot 0.167772 = 45 \cdot 0.00671089 = 0.301990

Paso 6: Sumar todas las probabilidades

$$P(X < 3) = 0.107374 + 0.268436 + 0.301990 = 0.677800$$

Respuesta: La probabilidad de recibir menos de 3 quejas en 10 llamadas es 0.6778 o 67.78%

📞 Nota importante: "Menos de k" ($X < k$) es equivalente a "a lo sumo k-1" ($X \leq k-1$). En este caso, menos de 3 = a lo sumo 2.

📝 Ejemplo 11: Estudiantes Aprobados (Entre)

Enunciado:

En un curso, la probabilidad de que un estudiante apruebe un examen difícil es del 55%. Si 7 estudiantes presentan el examen, ¿cuál es la probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes (inclusive) aprueben?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores y el tipo de problema

$n = 7$ (número de estudiantes)
$p = 0.55$ (probabilidad de aprobar)
$1 - p = 0.45$ (probabilidad de reprobar)
"Entre 3 y 5" significa $3 \leq X \leq 5$, es decir: 3, 4 o 5 estudiantes

Paso 2: Plantear la suma de probabilidades

P(3 \leq X \leq 5) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Paso 3: Calcular $P(X = 3)$

P(X = 3) = \binom{7}{3} \cdot (0.55)^3 \cdot (0.45)^4$$ $$= 35 \cdot 0.166375 \cdot 0.041006 = 35 \cdot 0.00682112 = 0.238739

Paso 4: Calcular $P(X = 4)$

P(X = 4) = \binom{7}{4} \cdot (0.55)^4 \cdot (0.45)^3$$ $$= 35 \cdot 0.091506 \cdot 0.091125 = 35 \cdot 0.00834098 = 0.291934

Paso 5: Calcular $P(X = 5)$

P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot (0.55)^5 \cdot (0.45)^2$$ $$= 21 \cdot 0.050328 \cdot 0.2025 = 21 \cdot 0.0101915 = 0.214021

Paso 6: Sumar todas las probabilidades

P(3 \leq X \leq 5) = 0.238739 + 0.291934 + 0.214021 = 0.744694

Respuesta: La probabilidad de que entre 3 y 5 estudiantes aprueben es 0.7447 o 74.47%

📚 Interpretación educativa: Hay una alta probabilidad (74.47%) de que entre 3 y 5 estudiantes aprueben. Esto es el rango más probable dado que la probabilidad individual es 55%.

📝 Ejemplo 12: Control de Calidad Avanzado (Al menos - A lo sumo)

Enunciado:

Una empresa produce chips electrónicos con una tasa de defectos del 8%. Si se seleccionan 12 chips al azar, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos 1 pero a lo sumo 3 chips defectuosos?

✅ Solución

Paso 1: Identificar los valores y el tipo de problema

$n = 12$ (número de chips seleccionados)
$p = 0.08$ (probabilidad de que un chip sea defectuoso)
$1 - p = 0.92$ (probabilidad de que un chip NO sea defectuoso)
"Al menos 1 pero a lo sumo 3" significa $1 \leq X \leq 3$

Paso 2: Plantear la suma de probabilidades

P(1 \leq X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Método alternativo con complemento:

P(1 \leq X \leq 3) = P(X \leq 3) - P(X = 0)

Paso 3: Calcular $P(X = 0)$

P(X = 0) = \binom{12}{0} \cdot (0.08)^0 \cdot (0.92)^{12}$$ $$= 1 \cdot 1 \cdot 0.367847 = 0.367847

Paso 4: Calcular $P(X = 1)$

P(X = 1) = \binom{12}{1} \cdot (0.08)^1 \cdot (0.92)^{11}$$ $$= 12 \cdot 0.08 \cdot 0.399834 = 12 \cdot 0.0319867 = 0.383841

Paso 5: Calcular $P(X = 2)$

P(X = 2) = \binom{12}{2} \cdot (0.08)^2 \cdot (0.92)^{10}$$ $$= 66 \cdot 0.0064 \cdot 0.434598 = 66 \cdot 0.00278143 = 0.183574

Paso 6: Calcular $P(X = 3)$

P(X = 3) = \binom{12}{3} \cdot (0.08)^3 \cdot (0.92)^9$$ $$= 220 \cdot 0.000512 \cdot 0.472241 = 220 \cdot 0.000241867 = 0.053211

Paso 7: Sumar las probabilidades

P(1 \leq X \leq 3) = 0.383841 + 0.183574 + 0.053211 = 0.620626

Respuesta: La probabilidad de encontrar entre 1 y 3 chips defectuosos (inclusive) es 0.6206 o 62.06%

🔧 Control de calidad: Esta probabilidad indica que en la mayoría de las muestras (62.06%) se encontrará al menos un defecto, pero no más de 3. Es importante para establecer estándares de aceptación.