Medidas de Tendencia Central
Matemática - Educación Media
Profesor Nicolás González M.
Preparación para Examen
Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar esta revisión serás capaz de:
1. Calcular la media aritmética, mediana y moda de un conjunto de datos
2. Interpretar el significado de cada medida en contextos reales
3. Resolver problemas aplicando medidas de tendencia central
4. Analizar datos presentados en tablas de frecuencias
5. Decidir qué medida es más apropiada según el contexto
¿Por qué es importante?
Las medidas de tendencia central te ayudan a resumir información, tomar decisiones y comprender mejor el mundo que te rodea.
¿Qué son las Medidas de Tendencia Central?
Definición:
Las medidas de tendencia central son valores que representan el "centro" o valor típico de un conjunto de datos.
¿Para qué las usamos?
- Resumir información de muchos datos
- Comparar diferentes grupos
- Tomar decisiones basadas en datos
- Entender patrones y tendencias
En tu vida diaria:
Promedio de notas, temperatura promedio, precio típico de productos, etc.
Media Aritmética - Concepto
Definición:
La media aritmética (o promedio) es la suma de todos los valores dividida por la cantidad total de datos.
x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + xₙ)/n = Σxᵢ/n
Características importantes:
- Se ve afectada por valores extremos (muy altos o muy bajos)
- Es la medida más utilizada en estadística
- Puede no coincidir con ningún valor del conjunto original
- Se usa para datos cuantitativos (números)
Ejemplo 1: Notas de Matemática
Situación: Las notas de Pedro en matemática durante el semestre fueron:
5.8, 6.2, 5.5, 6.8, 5.9, 6.1, 5.7
Paso 1:
Sumar todos los valores
5.8 + 6.2 + 5.5 + 6.8 + 5.9 + 6.1 + 5.7 = 42.0
Paso 2:
Dividir por la cantidad de datos (n = 7)
x̄ = 42.0/7 = 6.0
Interpretación:
El promedio de notas de Pedro es 6.0, lo que significa que en promedio tiene un rendimiento de 6.0 en matemática.
Ejemplo 2: Tiempo de Traslado
Situación: María registró el tiempo (en minutos) que demora en llegar al colegio durante una semana:
35, 42, 38, 45, 40, 36, 44
Cálculo:
x̄ = (35 + 42 + 38 + 45 + 40 + 36 + 44)/7 = 280/7 = 40 minutos
Interpretación:
En promedio, María demora 40 minutos en llegar al colegio. Puede usar esta información para planificar mejor su horario.
Ejemplo 3: Gasto en Colación
Situación: Los gastos diarios en colación de un estudiante (en pesos chilenos):
2500, 3200, 2800, 3500, 2600, 3100, 2900
Cálculo:
x̄ = (2500 + 3200 + 2800 + 3500 + 2600 + 3100 + 2900)/7 = 20600/7 = $2943
Interpretación:
El gasto promedio diario es aproximadamente $2943. Esto ayuda a planificar el presupuesto semanal: $2943 × 5 = $14715 por semana.
Ejemplo 4: Estatura de Estudiantes
Situación: Estaturas de estudiantes de 2° medio (en centímetros):
165, 170, 162, 175, 168, 172, 166, 169
Cálculo:
x̄ = (165 + 170 + 162 + 175 + 168 + 172 + 166 + 169)/8 = 1347/8 = 168.4 cm
Interpretación:
La estatura promedio del grupo es 168.4 cm, lo que puede ser útil para diseñar uniformes o equipamiento deportivo.
Mediana - Concepto
Definición:
La mediana es el valor que divide al conjunto de datos ordenados en dos partes iguales.
Procedimiento:
- Ordenar los datos de menor a mayor
- Si n es impar: mediana = valor central
- Si n es par: mediana = promedio de los dos valores centrales
Características importantes:
- NO se ve afectada por valores extremos
- Siempre existe y es única
- Divide los datos exactamente por la mitad
- Es muy útil cuando hay datos atípicos
Ejemplo 1: Edad de Estudiantes
Situación: Edades de estudiantes en un curso:
16, 15, 17, 16, 15, 18, 16
Paso 1:
Ordenar los datos
15, 15, 16, 16, 16, 17, 18
Paso 2:
Como n = 7 (impar), la mediana es el valor central (posición 4)
Me = 16 años
Interpretación:
La mitad de los estudiantes tiene 16 años o menos, y la otra mitad tiene 16 años o más.
Ejemplo 2: Puntajes PSU
Situación: Puntajes PSU Matemática de 6 estudiantes:
650, 720, 580, 690, 640, 710
Paso 1:
Ordenar los datos
580, 640, 650, 690, 710, 720
Paso 2:
Como n = 6 (par), promediamos los valores centrales (posiciones 3 y 4)
Me = (650 + 690)/2 = 670 puntos
Interpretación:
La mitad de los estudiantes obtuvo 670 puntos o menos en la PSU.
Ejemplo 3: Precio de Libros
Situación: Precios de libros universitarios (en pesos chilenos):
15000, 25000, 18000, 12000, 22000, 16000, 14000, 20000, 13000
Paso 1:
Ordenar los datos
12000, 13000, 14000, 15000, 16000, 18000, 20000, 22000, 25000
Paso 2:
Como n = 9 (impar), la mediana es el valor central (posición 5)
Me = $16000
Interpretación:
El precio mediano es $16000. La mitad de los libros cuesta $16000 o menos.
Ejemplo 4: Número de Hermanos
Situación: Número de hermanos de estudiantes en un curso:
0, 2, 1, 3, 1, 2, 0, 1
Paso 1:
Ordenar los datos
0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3
Paso 2:
Como n = 8 (par), promediamos los valores centrales (posiciones 4 y 5)
Me = (1 + 2)/2 = 1.5 hermanos
Interpretación:
La mediana es 1.5 hermanos. Aunque nadie tiene exactamente 1.5 hermanos, este valor indica que la mitad tiene 1 hermano o menos.
Moda - Concepto
Definición:
La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Tipos de distribuciones:
- Unimodal: Una sola moda
- Bimodal: Dos modas
- Multimodal: Más de dos modas
- Amodal: Sin moda (todos los valores aparecen igual número de veces)
Características importantes:
- Es la única medida que se puede usar con datos cualitativos
- Puede no existir o pueden existir varias modas
- Es fácil de identificar visualmente
- Muy útil para conocer preferencias o valores más comunes
Ejemplo 1: Deporte Favorito
Situación: Deporte favorito de estudiantes de 3° medio:
Fútbol, Básquet, Fútbol, Tenis, Fútbol, Básquet, Fútbol, Voleibol
Conteo de frecuencias:
| Deporte | Frecuencia |
|---|
| Fútbol | 4 |
| Básquet | 2 |
| Tenis | 1 |
| Voleibol | 1 |
Mo = Fútbol
Interpretación:
El fútbol es el deporte favorito más frecuente. Es una distribución unimodal.
Ejemplo 2: Talla de Poleras
Situación: Tallas de poleras vendidas en una tienda:
M, S, L, M, S, M, L, M, S, XL, M
Conteo de frecuencias:
| Talla | Frecuencia |
|---|
| M | 5 |
| S | 3 |
| L | 2 |
| XL | 1 |
Mo = M
Interpretación:
La talla M es la más vendida. Esta información es útil para planificar inventarios.
Ejemplo 3: Número de Mascotas
Situación: Número de mascotas por familia:
1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 2, 1
Conteo de frecuencias:
| N° Mascotas | Frecuencia |
|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 2 |
| 3 | 1 |
Mo = 1
Interpretación:
La mayoría de las familias encuestadas tiene 1 mascota.
Ejemplo 4: Calificaciones (Distribución Bimodal)
Situación: Calificaciones en una prueba:
6.0, 5.5, 6.0, 4.5, 5.5, 6.0, 5.5, 4.0, 6.0, 5.5
Conteo de frecuencias:
| Calificación | Frecuencia |
|---|
| 4.0 | 1 |
| 4.5 | 1 |
| 5.5 | 4 |
| 6.0 | 4 |
Mo = 5.5 y 6.0
Interpretación:
Hay dos modas: 5.5 y 6.0. Es una distribución bimodal, lo que sugiere dos grupos de rendimiento.
Ejercicio 1: Gastos en Transporte
Situación: Un estudiante registró sus gastos diarios en transporte público durante 2 semanas (en pesos chilenos):
1200, 1500, 1200, 1800, 1200, 1600, 1400,
1500, 1200, 1300, 1700, 1200, 1500, 1400
Calcula:
- La media aritmética del gasto diario
- La mediana de los gastos
- La moda de los gastos
Reflexiona: ¿Qué medida le recomendarías usar para planificar su presupuesto mensual de transporte?
Ejercicio 2: Horas de Estudio
Situación: Horas semanales de estudio de estudiantes de 4° medio preparando la PDT:
15, 20, 18, 25, 12, 22, 16, 30, 14, 28, 19
Determina:
- El promedio de horas de estudio semanal
- Las horas de estudio medianas
- Las horas de estudio más frecuentes (si existen)
Analiza: ¿Hay estudiantes que estudian significativamente más o menos que el resto? ¿Cómo lo sabes?
Medidas de Tendencia Central en Tablas de Frecuencias
Fórmulas para Tablas de Frecuencias:
Media Aritmética: x̄ = Σ(xᵢ × fᵢ) / Σfᵢ
Mediana: Valor que deja n/2 datos por debajo
Moda: Valor con mayor frecuencia absoluta
Procedimiento:
- Para la media: multiplica cada valor por su frecuencia, suma todo y divide por el total
- Para la mediana: encuentra la posición central y determina el valor correspondiente
- Para la moda: identifica el valor con mayor frecuencia
Ejercicio con Tablas 1: Número de Hermanos
Situación: Encuesta sobre número de hermanos en un curso de 30 estudiantes:
| N° Hermanos | Frecuencia |
|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 12 |
| 2 | 8 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
| Total | 30 |
|---|
Calcula:
- La media aritmética del número de hermanos
- La mediana del número de hermanos
- La moda del número de hermanos
Ejercicio con Tablas 2: Calificaciones en Matemática
Situación: Distribución de calificaciones en una prueba de matemática (40 estudiantes):
| Calificación | Frecuencia |
|---|
| 4.0 | 3 |
| 4.5 | 5 |
| 5.0 | 8 |
| 5.5 | 12 |
| 6.0 | 7 |
| 6.5 | 3 |
| 7.0 | 2 |
| Total | 40 |
|---|
Determina:
- El promedio de calificaciones del curso
- La calificación mediana
- La calificación modal
- ¿Qué porcentaje del curso aprobó (nota ≥ 4.0)?
Ejercicio con Tablas 3: Edad de Estudiantes
Situación: Distribución de edades en un curso de 2° medio (35 estudiantes):
| Edad (años) | Frecuencia |
|---|
| 15 | 8 |
| 16 | 18 |
| 17 | 7 |
| 18 | 2 |
| Total | 35 |
|---|
Calcula:
- La edad promedio del curso
- La edad mediana
- La edad modal
- ¿Cuál es el rango de edades del curso?
Ejercicio con Tablas 4: Horas de Sueño
Situación: Horas de sueño diarias de estudiantes de 4° medio (25 estudiantes):
| Horas de Sueño | Frecuencia |
|---|
| 5 | 2 |
| 6 | 6 |
| 7 | 10 |
| 8 | 5 |
| 9 | 2 |
| Total | 25 |
|---|
Encuentra:
- El promedio de horas de sueño
- Las horas de sueño medianas
- Las horas de sueño modales
- ¿Cuántos estudiantes duermen menos de 7 horas? ¿Es esto saludable?
Ejercicio con Tablas 5: Gasto en Almuerzo
Situación: Gasto diario en almuerzo de estudiantes universitarios (50 estudiantes):
| Gasto (pesos) | Frecuencia |
|---|
| 2000 | 5 |
| 2500 | 12 |
| 3000 | 18 |
| 3500 | 10 |
| 4000 | 3 |
| 4500 | 2 |
| Total | 50 |
|---|
Determina:
- El gasto promedio en almuerzo
- El gasto mediano
- El gasto modal
- Si un estudiante va 20 días al mes, ¿cuánto gastará basándose en la media?
¿Cuándo Usar Cada Medida?
Media Aritmética
Usar cuando:
- Los datos no tienen valores extremos
- Necesitas el valor más "representativo" matemáticamente
- Quieres realizar cálculos posteriores
Ejemplo: Promedio de notas, temperatura promedio
Mediana
Usar cuando:
- Hay valores extremos que distorsionan la media
- Quieres dividir el grupo en dos mitades iguales
- Los datos están muy dispersos
Ejemplo: Ingresos familiares, precios de viviendas
¿Cuándo Usar Cada Medida? (continuación)
Moda
Usar cuando:
- Trabajas con datos categóricos (colores, marcas, etc.)
- Necesitas saber qué es lo más frecuente o popular
- Quieres identificar preferencias o tendencias
Ejemplo: Deporte favorito, talla más vendida, marca preferida
Consejo Importante:
En la práctica, es recomendable calcular las tres medidas y analizarlas en conjunto para obtener una imagen completa de los datos.
Resumen de Fórmulas
Fórmulas Principales
Moda: Valor con mayor frecuencia
Pasos para resolver ejercicios
- Identifica qué medida te piden
- Organiza los datos (ordena si es necesario)
- Aplica la fórmula correspondiente
- Interpreta el resultado en contexto
Autoevaluación
Verifica tu comprensión
1. ¿Sabes calcular la media, mediana y moda de cualquier conjunto de datos?
2. ¿Puedes decidir cuál medida es más apropiada según el contexto?
3. ¿Entiendes cómo los valores extremos afectan cada medida?
4. ¿Puedes interpretar el significado de cada medida en situaciones reales?
5. ¿Sabes trabajar con tablas de frecuencias?
Si respondiste "sí" a todas las preguntas, ¡felicitaciones! Estás listo para aplicar las medidas de tendencia central en cualquier contexto.
Si tienes dudas en algún punto, revisa los ejemplos y ejercicios correspondientes.
¡Éxito en tu Examen!