Medidas de Posición

📊

Cuartiles, Deciles y Percentiles

Una guía completa para entender cómo dividir y analizar conjuntos de datos

Objetivos de Aprendizaje

Al finalizar esta clase serás capaz de:

Comprender el concepto de medidas de posición y su importancia en el análisis estadístico
Calcular cuartiles, deciles y percentiles utilizando el método correcto
Aplicar el método de la media cuando las posiciones son valores decimales
Interpretar los resultados en el contexto de problemas reales
Identificar y evitar errores comunes en los cálculos

💡 Nota importante: Las medidas de posición son herramientas fundamentales para entender la distribución de datos y tomar decisiones informadas.

¿Qué son las Medidas de Posición?

📌 Definición

Las medidas de posición son valores que dividen un conjunto de datos ordenados en partes iguales, permitiéndonos ubicar y comparar datos dentro de una distribución.

Estas medidas nos ayudan a responder preguntas como:

🎯 Ubicación Relativa

¿En qué posición se encuentra un valor específico dentro del conjunto de datos?

📈 Comparación

¿Cómo se compara un dato con el resto del grupo?

📊 Distribución

¿Cómo están distribuidos los datos en diferentes secciones?

🔍 Análisis

¿Qué porcentaje de datos está por encima o debajo de cierto valor?

🔑 Concepto Clave

Las medidas de posición dividen los datos en grupos de igual tamaño, facilitando el análisis y la comparación de distribuciones estadísticas.

Tipos de Medidas de Posición

Existen tres tipos principales de medidas de posición, cada una con un propósito específico:

1️⃣ Cuartiles (Q)

Dividen los datos en 4 partes iguales (25% cada una).

Q₁ (Primer cuartil): 25% de los datos están por debajo
Q₂ (Segundo cuartil): 50% de los datos están por debajo (mediana)
Q₃ (Tercer cuartil): 75% de los datos están por debajo

2️⃣ Deciles (D)

Dividen los datos en 10 partes iguales (10% cada una).

D₁: 10% de los datos están por debajo
D₅: 50% de los datos están por debajo (equivale a Q₂)
D₉: 90% de los datos están por debajo

3️⃣ Percentiles (P)

Dividen los datos en 100 partes iguales (1% cada una).

P₂₅: 25% de los datos están por debajo (equivale a Q₁)
P₅₀: 50% de los datos están por debajo (equivale a Q₂)
P₉₀: 90% de los datos están por debajo

💡 Observa: Q₂ = D₅ = P₅₀ = Mediana. Todos representan el punto medio del conjunto de datos.

Fórmula General de Posición

Para calcular cualquier medida de posición, utilizamos la siguiente fórmula general:

\[ \text{Posición} = k \times \frac{n+1}{m} \]

📝 Donde:

$k$	Número de la medida que buscamos (1, 2, 3, ..., k)
$n$	Cantidad total de datos en el conjunto
$m$	Número de partes en que dividimos (4 para cuartiles, 10 para deciles, 100 para percentiles)

🎯 Fórmulas Específicas

Cuartiles:
$Q_k = k \times \frac{n+1}{4}$

Deciles:
$D_k = k \times \frac{n+1}{10}$

Percentiles:
$P_k = k \times \frac{n+1}{100}$

⚠️ Muy importante: Los datos SIEMPRE deben estar ordenados de menor a mayor antes de calcular cualquier medida de posición.

Interpretación de Posiciones

Al calcular la posición, podemos obtener dos tipos de resultados:

✅ Caso 1: Posición Entera

Si el resultado es un número entero, ese número indica directamente la posición del dato buscado.

Ejemplo:

Si $Q_2 = 7$, el segundo cuartil es el dato que está en la posición 7 de la lista ordenada.

⚠️ Caso 2: Posición Decimal

Si el resultado es un número decimal, debemos aplicar el método de la media.

Método de la Media:

Calculamos el promedio entre el dato en la posición inferior y el dato en la posición superior.

Fórmula del Método de la Media:

\[ \text{Valor} = \frac{\text{Dato posición inferior} + \text{Dato posición superior}}{2} \]

📌 Ejemplo Completo

Si calculamos $Q_1$ y obtenemos posición = 3.5

Posición inferior: 3 (dato en posición 3)
Posición superior: 4 (dato en posición 4)
Resultado: $Q_1 = \frac{\text{dato}_3 + \text{dato}_4}{2}$

Ejemplo 1: Calculando Cuartiles

📊 Problema

Las edades de 11 estudiantes en una clase son:

18 - 20 - 19 - 21 - 18 - 22 - 19 - 20 - 21 - 19 - 20

Calcular los tres cuartiles.

1 Ordenar los datos de menor a mayor:

18 - 18 - 19 - 19 - 19 - 20 - 20 - 20 - 21 - 21 - 22

Nota: Este es el paso más importante. Sin datos ordenados, el cálculo será incorrecto.

2 Identificar n (cantidad de datos):

$n = 11$ estudiantes

3 Calcular las posiciones de los cuartiles:

Para Q₁: $Q_1 = 1 \times \frac{11+1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ → Posición 3

Para Q₂: $Q_2 = 2 \times \frac{11+1}{4} = \frac{24}{4} = 6$ → Posición 6

Para Q₃: $Q_3 = 3 \times \frac{11+1}{4} = \frac{36}{4} = 9$ → Posición 9

4 Identificar los valores en esas posiciones:

18 - 18 - 19 - 19 - 19 - 20 - 20 - 20 - 21 - 21 - 22

Q₁ (posición 3) = 19 años

Q₂ (posición 6) = 20 años

Q₃ (posición 9) = 21 años

✅ Interpretación:
El 25% de los estudiantes tiene 19 años o menos • El 50% tiene 20 años o menos • El 75% tiene 21 años o menos

Ejemplo 2: Posiciones Decimales

📊 Problema

Los puntajes de 10 estudiantes en una prueba son:

56 - 78 - 65 - 89 - 72 - 84 - 91 - 68 - 75 - 82

Calcular Q₁ y Q₃.

1 Ordenar los datos:

56 - 65 - 68 - 72 - 75 - 78 - 82 - 84 - 89 - 91

$n = 10$ datos

2 Calcular posiciones:

Para Q₁: $Q_1 = 1 \times \frac{10+1}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$ → Posición 2.75

Para Q₃: $Q_3 = 3 \times \frac{10+1}{4} = \frac{33}{4} = 8.25$ → Posición 8.25

⚠️ ¡Atención! Las posiciones son decimales. Debemos aplicar el método de la media.

3 Aplicar método de la media para Q₁ (posición 2.75):

Posiciones: entre 2 y 3

56 - 65 - 68 - 72 - 75 - 78 - 82 - 84 - 89 - 91

\[ Q_1 = \frac{65 + 68}{2} = \frac{133}{2} = 66.5 \text{ puntos} \]

4 Aplicar método de la media para Q₃ (posición 8.25):

Posiciones: entre 8 y 9

56 - 65 - 68 - 72 - 75 - 78 - 82 - 84 - 89 - 91

\[ Q_3 = \frac{84 + 89}{2} = \frac{173}{2} = 86.5 \text{ puntos} \]

✅ Interpretación:
El 25% de los estudiantes obtuvo 66.5 puntos o menos • El 75% obtuvo 86.5 puntos o menos

Ejemplo 3: Calculando Deciles

📊 Problema

Los salarios mensuales (en miles de pesos) de 15 empleados son:

450 - 520 - 480 - 550 - 500 - 620 - 490 - 530 - 510 - 580 - 470 - 540 - 560 - 495 - 515

Calcular D₃ (tercer decil) y D₇ (séptimo decil).

1 Ordenar los datos:

450 - 470 - 480 - 490 - 495 - 500 - 510 - 515 - 520 - 530 - 540 - 550 - 560 - 580 - 620

$n = 15$ empleados

2 Calcular posiciones usando la fórmula de deciles:

Para D₃: $D_3 = 3 \times \frac{15+1}{10} = 3 \times \frac{16}{10} = 3 \times 1.6 = 4.8$

Posición 4.8 (decimal → usar método de la media)

Para D₇: $D_7 = 7 \times \frac{15+1}{10} = 7 \times 1.6 = 11.2$

Posición 11.2 (decimal → usar método de la media)

3 Calcular D₃ (posición 4.8 → entre posiciones 4 y 5):

450 - 470 - 480 - 490 - 495 - 500 - 510 - 515 - 520 - 530 - 540 - 550 - 560 - 580 - 620

\[ D_3 = \frac{490 + 495}{2} = \frac{985}{2} = 492.5 \text{ mil pesos} \]

4 Calcular D₇ (posición 11.2 → entre posiciones 11 y 12):

450 - 470 - 480 - 490 - 495 - 500 - 510 - 515 - 520 - 530 - 540 - 550 - 560 - 580 - 620

\[ D_7 = \frac{540 + 550}{2} = \frac{1090}{2} = 545 \text{ mil pesos} \]

✅ Interpretación:
El 30% de los empleados gana $492.5 mil o menos • El 70% gana $545 mil o menos

Ejemplo 4: Calculando Percentiles

📊 Problema

En una prueba estandarizada, 20 estudiantes obtuvieron los siguientes puntajes:

650 - 720 - 680 - 750 - 690 - 780 - 700 - 730 - 710 - 760
670 - 740 - 695 - 725 - 685 - 770 - 705 - 755 - 715 - 735

Calcular P₂₅ (percentil 25) y P₈₀ (percentil 80).

1 Ordenar los datos:

650 - 670 - 680 - 685 - 690 - 695 - 700 - 705 - 710 - 715
720 - 725 - 730 - 735 - 740 - 750 - 755 - 760 - 770 - 780

$n = 20$ estudiantes

2 Calcular posiciones usando la fórmula de percentiles:

Para P₂₅: $P_{25} = 25 \times \frac{20+1}{100} = 25 \times \frac{21}{100} = 25 \times 0.21 = 5.25$

Posición 5.25 (decimal → usar método de la media)

Para P₈₀: $P_{80} = 80 \times \frac{20+1}{100} = 80 \times 0.21 = 16.8$

Posición 16.8 (decimal → usar método de la media)

🔍 Nota Importante

Observa que P₂₅ es equivalente a Q₁, ya que ambos representan el 25% de los datos. Siempre verificaremos que sean consistentes.

3 Calcular P₂₅ (posición 5.25 → entre posiciones 5 y 6):

650 - 670 - 680 - 685 - 690 - 695 - 700 - 705 - 710 - 715 - ...

\[ P_{25} = \frac{690 + 695}{2} = \frac{1385}{2} = 692.5 \text{ puntos} \]

4 Calcular P₈₀ (posición 16.8 → entre posiciones 16 y 17):

... - 730 - 735 - 740 - 750 - 755 - 760 - 770 - 780

\[ P_{80} = \frac{750 + 755}{2} = \frac{1505}{2} = 752.5 \text{ puntos} \]

✅ Interpretación:
El 25% de los estudiantes obtuvo 692.5 puntos o menos • El 80% obtuvo 752.5 puntos o menos

Tabla Comparativa de Medidas

Comparación entre las diferentes medidas de posición y sus equivalencias:

Medida	Fórmula	Divide en	Equivalencias
Q₁ (Primer cuartil)	$1 \times \frac{n+1}{4}$	4 partes iguales	P₂₅ = D₂.₅
Q₂ (Segundo cuartil)	$2 \times \frac{n+1}{4}$	4 partes iguales	P₅₀ = D₅ = Mediana
Q₃ (Tercer cuartil)	$3 \times \frac{n+1}{4}$	4 partes iguales	P₇₅ = D₇.₅
D₁ (Primer decil)	$1 \times \frac{n+1}{10}$	10 partes iguales	P₁₀
D₅ (Quinto decil)	$5 \times \frac{n+1}{10}$	10 partes iguales	Q₂ = P₅₀ = Mediana
D₉ (Noveno decil)	$9 \times \frac{n+1}{10}$	10 partes iguales	P₉₀
P₂₅ (Percentil 25)	$25 \times \frac{n+1}{100}$	100 partes iguales	Q₁
P₅₀ (Percentil 50)	$50 \times \frac{n+1}{100}$	100 partes iguales	Q₂ = D₅ = Mediana
P₇₅ (Percentil 75)	$75 \times \frac{n+1}{100}$	100 partes iguales	Q₃

💡 Observación clave: Las medidas de posición son consistentes entre sí. Por ejemplo, calcular Q₂, D₅ o P₅₀ debe dar el mismo resultado (la mediana).

🎯 ¿Cuándo usar cada una?

Cuartiles: Análisis general de distribución (división en 4 partes)
Deciles: Análisis más detallado (división en 10 partes)
Percentiles: Análisis muy específico, común en pruebas estandarizadas (división en 100 partes)

Resumen y Aplicaciones

1️⃣ Pasos para Calcular Medidas de Posición

Ordenar los datos de menor a mayor
Identificar el valor de $n$ (cantidad de datos)
Aplicar la fórmula correspondiente para calcular la posición
Si la posición es entera: tomar directamente ese dato
Si la posición es decimal: aplicar el método de la media entre los dos datos adyacentes
Interpretar el resultado en el contexto del problema

2️⃣ Conceptos Clave para Recordar

Los datos siempre deben estar ordenados
La fórmula usa $(n+1)$, no solo $n$
Posición ≠ Valor del dato
Para posiciones decimales, usar el promedio de los dos datos adyacentes
Q₂ = D₅ = P₅₀ = Mediana

3️⃣ Aplicaciones en la Vida Real

Educación: Análisis de rendimiento académico y comparación de estudiantes
Economía: Estudios socioeconómicos, distribución de ingresos y salarios
Salud: Tablas de crecimiento infantil, percentiles de peso y altura
Empresas: Análisis de ventas, identificación de productos más vendidos
Investigación: Identificación de valores atípicos y comparación de grupos
Deportes: Análisis de desempeño y comparación de atletas

💡 Las medidas de posición son herramientas fundamentales en estadística descriptiva que nos permiten comprender mejor la distribución de los datos

Práctica Guiada: Resolvamos Juntos

🎯 Problema

Tiempo (en minutos) que demoran 13 estudiantes en llegar al colegio:

25 - 15 - 35 - 20 - 45 - 30 - 18 - 40 - 22 - 38 - 28 - 32 - 26

Objetivo: Calcular los tres cuartiles (Q₁, Q₂, Q₃)

1 Ordenar los datos de menor a mayor:

15 - 18 - 20 - 22 - 25 - 26 - 28 - 30 - 32 - 35 - 38 - 40 - 45

✓ Datos ordenados correctamente. $n = 13$ estudiantes

2 Calcular las posiciones de los cuartiles:

Q₁: $1 \times \frac{13+1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$ → Posición 3.5 (decimal)

Q₂: $2 \times \frac{14}{4} = \frac{28}{4} = 7$ → Posición 7 (entera)

Q₃: $3 \times \frac{14}{4} = \frac{42}{4} = 10.5$ → Posición 10.5 (decimal)

3 Determinar los valores de cada cuartil:

Para Q₁ (posición 3.5): Entre posiciones 3 y 4

15 - 18 - 20 - 22 - 25 - 26 - 28 - 30 - 32 - 35 - 38 - 40 - 45

$Q_1 = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = \mathbf{21} \text{ minutos}$

Para Q₂ (posición 7): Posición exacta

15 - 18 - 20 - 22 - 25 - 26 - 28 - 30 - 32 - 35 - 38 - 40 - 45

$Q_2 = \mathbf{28} \text{ minutos}$

Para Q₃ (posición 10.5): Entre posiciones 10 y 11

15 - 18 - 20 - 22 - 25 - 26 - 28 - 30 - 32 - 35 - 38 - 40 - 45

$Q_3 = \frac{35 + 38}{2} = \frac{73}{2} = \mathbf{36.5} \text{ minutos}$

✅ Interpretación Final:
• El 25% de los estudiantes demora 21 minutos o menos
• El 50% demora 28 minutos o menos (mediana)
• El 75% demora 36.5 minutos o menos

🎓 ¡Excelente! Ahora sabes cómo calcular cuartiles tanto para posiciones enteras como decimales.

Tips y Errores Comunes

✅ Tips para el Éxito

Verifica siempre que los datos estén ordenados correctamente de menor a mayor
Cuenta cuidadosamente la cantidad de datos (n) antes de aplicar las fórmulas
Recuerda la diferencia: la posición NO es lo mismo que el valor del dato
Practica con diferentes tamaños de muestra para dominar ambos casos (enteros y decimales)
Interpreta siempre los resultados en el contexto del problema real
Usa calculadora para evitar errores aritméticos en las divisiones
Verifica la coherencia: Q₁ debe ser menor que Q₂, y Q₂ menor que Q₃

❌ Errores Frecuentes a Evitar

Error 1:	Olvidar ordenar los datos antes de calcular
Error 2:	Confundir la posición calculada con el valor del dato
Error 3:	No aplicar el método de la media cuando la posición es decimal
Error 4:	Usar $n$ en vez de $(n+1)$ en la fórmula de posición
Error 5:	Redondear la posición cuando es decimal (¡nunca redondees!)
Error 6:	Usar la fórmula incorrecta (confundir cuartiles con deciles o percentiles)

💡 Ejemplo de Error Común

❌ Incorrecto

Posición = 3.5
"Entonces Q₁ está en la posición 4"
(Error: redondear)

✅ Correcto

Posición = 3.5
"Promedio entre posición 3 y 4"
(Correcto: método de la media)

🎯 Recuerda: La práctica constante hace al maestro. ¡Resuelve muchos ejercicios para dominar estas técnicas!

¡Excelente Trabajo!

🎉

Has completado el tema de Medidas de Posición

Ahora eres capaz de:

Calcular cuartiles, deciles y percentiles correctamente
Aplicar el método de la media para posiciones decimales
Interpretar medidas de posición en contextos reales
Resolver problemas estadísticos con confianza
Evitar los errores más comunes en los cálculos

"La estadística es la gramática de la ciencia"

— Karl Pearson

¡Sigue practicando y explorando el fascinante mundo de la estadística!

\(k\)	Número de la medida que buscamos (1, 2, 3, ..., k)
\(n\)	Cantidad total de datos en el conjunto
\(m\)	Número de partes en que dividimos (4 para cuartiles, 10 para deciles, 100 para percentiles)

Medida	Fórmula	Divide en	Equivalencias
Q₁ (Primer cuartil)	\(1 \times \frac{n+1}{4}\)	4 partes iguales	P₂₅ = D₂.₅
Q₂ (Segundo cuartil)	\(2 \times \frac{n+1}{4}\)	4 partes iguales	P₅₀ = D₅ = Mediana
Q₃ (Tercer cuartil)	\(3 \times \frac{n+1}{4}\)	4 partes iguales	P₇₅ = D₇.₅
D₁ (Primer decil)	\(1 \times \frac{n+1}{10}\)	10 partes iguales	P₁₀
D₅ (Quinto decil)	\(5 \times \frac{n+1}{10}\)	10 partes iguales	Q₂ = P₅₀ = Mediana
D₉ (Noveno decil)	\(9 \times \frac{n+1}{10}\)	10 partes iguales	P₉₀
P₂₅ (Percentil 25)	\(25 \times \frac{n+1}{100}\)	100 partes iguales	Q₁
P₅₀ (Percentil 50)	\(50 \times \frac{n+1}{100}\)	100 partes iguales	Q₂ = D₅ = Mediana
P₇₅ (Percentil 75)	\(75 \times \frac{n+1}{100}\)	100 partes iguales	Q₃