Técnicas de Conteo - Ejercicios Interactivos

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Ejercicio 1

¿Cuántas claves de 4 dígitos se pueden formar usando los números del 0 al 9, si se pueden repetir los dígitos?

📝 Solución:

Variación con Repetición

Análisis: Tenemos 10 opciones (0-9) para cada una de las 4 posiciones y podemos repetir

$n = 10$ (dígitos), $r = 4$ (posiciones)

$$VR_{10,4} = 10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10.000$$

✅ Respuesta: 10.000 claves diferentes

Ejercicio 2

De un grupo de 15 estudiantes, se debe formar un comité de 5 personas. ¿De cuántas formas se puede formar este comité?

📝 Solución:

Combinatoria

Análisis: Elegimos 5 personas de 15 y el orden no importa (un comité es lo mismo independiente del orden)

$n = 15$, $r = 5$

$$C_{15,5} = \frac{15!}{5! \times 10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360.360}{120} = 3.003$$

✅ Respuesta: 3.003 formas diferentes

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Ejercicio 3

Una señal se compone de 7 banderas en línea: 3 rojas, 2 azules y 2 verdes. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar?

📝 Solución:

Permutación con Repetición

Análisis: Ordenamos 7 banderas pero hay elementos repetidos

Total: 7 banderas (3R, 2A, 2V)

$$P_7^{3,2,2} = \frac{7!}{3! \times 2! \times 2!} = \frac{5.040}{6 \times 2 \times 2} = \frac{5.040}{24} = 210$$

✅ Respuesta: 210 señales diferentes

Ejercicio 4

En una competencia hay 10 participantes. ¿De cuántas formas diferentes se pueden otorgar los premios de 1°, 2° y 3° lugar?

📝 Solución:

Variación sin Repetición

Análisis: El orden importa (1°, 2°, 3° son diferentes) y no se repiten personas

$n = 10$, $r = 3$

$$V_{10,3} = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

✅ Respuesta: 720 formas diferentes

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Ejercicio 5

Una familia de 5 personas va al cine y deben sentarse en una fila de 5 asientos contiguos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse?

📝 Solución:

Permutación Simple

Análisis: Ordenamos 5 personas en 5 lugares, todos diferentes

$$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

✅ Respuesta: 120 maneras diferentes

Ejercicio 6

Una pizzería ofrece 10 ingredientes diferentes. Si quieres ordenar una pizza con exactamente 4 ingredientes, ¿cuántas pizzas diferentes puedes crear?

📝 Solución:

Combinatoria

Análisis: Elegimos 4 ingredientes de 10 y el orden no importa (una pizza con jamón-queso es igual a queso-jamón)

$n = 10$, $r = 4$

$$C_{10,4} = \frac{10!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5.040}{24} = 210$$

✅ Respuesta: 210 pizzas diferentes

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Ejercicio 7

¿Cuántas palabras diferentes (con o sin sentido) se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMÁTICA?

📝 Solución:

Permutación con Repetición

Análisis: MATEMÁTICA tiene 10 letras con repeticiones

Repeticiones: M(2), A(3), T(2), E(1), I(1), C(1)

$$P_{10}^{2,3,2,1,1,1} = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2!} = \frac{3.628.800}{2 \times 6 \times 2} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200$$

✅ Respuesta: 151.200 palabras diferentes

Ejercicio 8

Un curso tiene 25 estudiantes. ¿De cuántas maneras se puede elegir un presidente, un vicepresidente y un secretario (cada cargo debe ser ocupado por una persona diferente)?

📝 Solución:

Variación sin Repetición

Análisis: Importa el orden (presidente ≠ vicepresidente) y no se repiten

$n = 25$, $r = 3$

$$V_{25,3} = \frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!} = 25 \times 24 \times 23 = 13.800$$

✅ Respuesta: 13.800 maneras diferentes

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Ejercicio 9

Un equipo de fútbol tiene 5 jugadores que pueden jugar como delanteros. ¿De cuántas formas diferentes pueden ubicarse estos 5 jugadores en las 5 posiciones de la delantera?

📝 Solución:

Permutación Simple

Análisis: Ordenamos 5 jugadores en 5 posiciones, todos diferentes

$$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

✅ Respuesta: 120 formas diferentes

Ejercicio 10

Un examen de alternativas tiene 8 preguntas, cada una con 4 opciones (A, B, C, D). ¿Cuántas formas diferentes hay de responder el examen?

📝 Solución:

Variación con Repetición

Análisis: Para cada pregunta hay 4 opciones y podemos repetir

$n = 4$ (opciones), $r = 8$ (preguntas)

$$VR_{4,8} = 4^8 = 65.536$$

✅ Respuesta: 65.536 formas diferentes

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Ejercicio 11

En una biblioteca se deben ordenar 7 libros diferentes en un estante. ¿De cuántas maneras distintas se pueden organizar?

📝 Solución:

Permutación Simple

Análisis: Ordenamos 7 libros diferentes

$$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5.040$$

✅ Respuesta: 5.040 maneras diferentes

Ejercicio 12

En una clase hay 18 mujeres y 12 hombres. Se debe formar un grupo de 6 personas que incluya exactamente 4 mujeres y 2 hombres. ¿De cuántas formas se puede formar este grupo?

📝 Solución:

Combinatoria (Principio Multiplicativo)

Análisis: Combinamos dos selecciones independientes

Seleccionar 4 mujeres de 18 y 2 hombres de 12

$$C_{18,4} = \frac{18!}{4! \times 14!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{24} = 3.060$$ $$C_{12,2} = \frac{12!}{2! \times 10!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66$$ $$\text{Total} = 3.060 \times 66 = 201.960$$

✅ Respuesta: 201.960 formas diferentes

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Ejercicio 13

¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de la palabra MISSISSIPPI?

📝 Solución:

Permutación con Repetición

Análisis: MISSISSIPPI tiene 11 letras con repeticiones

Repeticiones: M(1), I(4), S(4), P(2)

$$P_{11}^{1,4,4,2} = \frac{11!}{1! \times 4! \times 4! \times 2!} = \frac{39.916.800}{1 \times 24 \times 24 \times 2} = \frac{39.916.800}{1.152} = 34.650$$

✅ Respuesta: 34.650 formas diferentes

Ejercicio 14

Una clave de seguridad consta de 4 dígitos diferentes del 1 al 9. ¿Cuántas claves diferentes se pueden formar?

📝 Solución:

Variación sin Repetición

Análisis: Importa el orden y los dígitos son diferentes

$n = 9$, $r = 4$

$$V_{9,4} = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3.024$$

✅ Respuesta: 3.024 claves diferentes

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Ejercicio 15

Una profesora debe asignar 4 tareas diferentes a 4 estudiantes (una tarea por estudiante). ¿De cuántas formas puede hacer la asignación?

📝 Solución:

Permutación Simple

Análisis: Asignamos 4 tareas diferentes a 4 estudiantes

$$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

✅ Respuesta: 24 formas diferentes

Ejercicio 16

¿Cuántas placas patentes se pueden formar con 2 letras seguidas de 3 números, si se pueden repetir tanto letras como números? (Considera 26 letras del alfabeto)

📝 Solución:

Variación con Repetición (Principio Multiplicativo)

Análisis: Letras y números pueden repetirse

$$\text{Letras: } VR_{26,2} = 26^2 = 676$$ $$\text{Números: } VR_{10,3} = 10^3 = 1.000$$ $$\text{Total} = 676 \times 1.000 = 676.000$$

✅ Respuesta: 676.000 placas diferentes

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Ejercicio 17

En un código binario de 8 dígitos hay 5 unos y 3 ceros. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden formar?

📝 Solución:

Permutación con Repetición

Análisis: 8 dígitos con repeticiones (5 unos, 3 ceros)

$$P_8^{5,3} = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{40.320}{120 \times 6} = \frac{40.320}{720} = 56$$

✅ Respuesta: 56 códigos diferentes

Ejercicio 18

En una baraja de 52 cartas, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar 7 cartas (sin importar el orden)?

📝 Solución:

Combinatoria

Análisis: Seleccionamos 7 cartas de 52 y el orden no importa

$n = 52$, $r = 7$

$$C_{52,7} = \frac{52!}{7! \times 45!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$ $$= \frac{674.274.182.400}{5.040} = 133.784.560$$

✅ Respuesta: 133.784.560 formas diferentes

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Ejercicio 19

En una competencia de atletismo, 6 corredores participan en una final. ¿De cuántas formas distintas pueden llegar a la meta (sin empates)?

📝 Solución:

Permutación Simple

Análisis: Ordenamos las 6 posiciones de llegada

$$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

✅ Respuesta: 720 formas diferentes

Ejercicio 20

De un grupo de 12 atletas, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar 4 para formar una posta de relevos (considerando que el orden en que corren es importante)?

📝 Solución:

Variación sin Repetición

Análisis: El orden importa (posición 1,2,3,4) y no se repiten atletas

$n = 12$, $r = 4$

$$V_{12,4} = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!} = 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 11.880$$

✅ Respuesta: 11.880 formas diferentes

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Ejercicio 21

¿Cuántas formas hay de ordenar 9 libros en un estante si 4 son de matemática, 3 de ciencias y 2 de historia (los libros de la misma materia son idénticos)?

📝 Solución:

Permutación con Repetición

Análisis: 9 libros con repeticiones por materia

Total: 9 libros (4M, 3C, 2H)

$$P_9^{4,3,2} = \frac{9!}{4! \times 3! \times 2!} = \frac{362.880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362.880}{288} = 1.260$$

✅ Respuesta: 1.260 formas diferentes

Ejercicio 22

En un juego de dados, lanzas 5 dados de 6 caras simultáneamente. ¿Cuántos resultados diferentes son posibles?

📝 Solución:

Variación con Repetición

Análisis: Cada dado puede mostrar cualquier valor del 1 al 6

$n = 6$ (caras), $r = 5$ (dados)

$$VR_{6,5} = 6^5 = 7.776$$

✅ Respuesta: 7.776 resultados diferentes

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Ejercicio 23

Un equipo de básquetbol tiene 12 jugadores. ¿De cuántas formas puede el entrenador elegir a los 5 jugadores que iniciarán el partido?

📝 Solución:

Combinatoria

Análisis: Seleccionamos 5 jugadores de 12, el orden no importa

$n = 12$, $r = 5$

$$C_{12,5} = \frac{12!}{5! \times 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95.040}{120} = 792$$

✅ Respuesta: 792 formas diferentes

Ejercicio 24

En una carrera de 8 caballos, ¿de cuántas formas diferentes pueden llegar los primeros 5 lugares (sin empates)?

📝 Solución:

Variación sin Repetición

Análisis: Importa el orden de llegada y no se repiten caballos

$n = 8$, $r = 5$

$$V_{8,5} = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6.720$$

✅ Respuesta: 6.720 formas diferentes

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Ejercicio 25

Una heladería ofrece 6 sabores diferentes. Si puedes elegir 3 bolas de helado y el orden en que las eliges importa (porque van una sobre otra), ¿cuántas combinaciones diferentes puedes hacer permitiendo repetir sabores?

📝 Solución:

Variación con Repetición

Análisis: El orden importa (chocolate-vainilla-fresa ≠ fresa-chocolate-vainilla) y podemos repetir sabores

$n = 6$ (sabores), $r = 3$ (bolas)

$$VR_{6,3} = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$$

✅ Respuesta: 216 combinaciones diferentes

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Evaluación

¡Felicidades por completar los ejercicios! Ahora, te invitamos a realizar una evaluación para poner a prueba tus conocimientos sobre Permutaciones, Variaciones y Combinatoria.

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